RECHERCHE DES RACINES INCOMMENSURABLES

9G. Nous avons donné plus haut les principes de cette recherche; elle repose sur le changement de signe qu’éprouve le premier membre d’une équation quand l’inconnue passe d’une valeur a à une valeur p dans l’intervalle desquelles se trouve une racine de cette équation. Il faut, par conséquent, qu’entre deux racines consécutives il existe un certain intervalle, c’est-à-dire que l’équation proposée n’ait pas de racines égales. Nous avons vu (§ 49) comment, lorsque l’équation est algébrique, on peut toujours reconnaître si elle a des racines égales et ramener sa résolution à celle d’équations dont toutes les racines sont simples. Nous avons vu aussi comment on s’assurait a posteriori qu’une racine d’une équation transcendante était multiple et quel était son degré de multiplicité , mais qu’on ne pouvait reconnaître a priori l’existence des racines multiples. Il nous reste à montrer comment, on appliquera les principes énoncés à la séparation des racines d’une équation quelconque

et comment on pourra calculer chacune d’elle avec toute l’exactitude désirable.

Séparation des racines d'une équation algébrique.

97. Nous avons déjà dit (§ 38) que si deux nombres substitués dans le premier membre d’une équation donnent des résultats de signes contraires, ils comprennent un nombre impair de racines , et que s’ils donnent des résultats de même signe, ils en comprennent un nombre pair.

Ces théorèmes ne suffisent pas à la séparation des racines, car ils ne fixent pas le nombre des racines comprises entre deux nombres donnés, et on conçoit que si deux racines de l’équation sont voisines, elles puissent se trouver toutes deux dans l’intervalle de deux substitutions successives et rester inaperçues. Pour être sûr de séparer toutes les racines d’une équation , il faudrait substituer dans le premier membre des nombres équidistants dont la différence fût moindre que la plus petite différence des racines, ce qui pourrait conduire à des substitutions pénibles et très-nombreuses, la plupart inutiles, sans compter la difficulté de connaître l’intervalle des substitutions. O

98. Premiers essais. On essayera , en général , de séparer les racines en substituant dans le premier membre de l’équation des nombres entiers compris entre les limites des racines.

Pour expliquer la manière la plus simple de faire ces substitutions , prenons pour exemple la fonction

ax 3 4- bx‘- + ex ■+■ d.

On peut l’écrire

x [x ( ax -h b) -+- c] 4- d

et l’on voit que si on y fait x = a, on pourra obtenir le résultat en observant la règle suivante :

1 . Lagrange a donné une méthode du calcul des racines d’une équation algébrique fondée sur cette remarque.

99. Règle pour substituer un nombre dans une fonction entière ordonnée suivant les puissances décroissantes de x.

Pour substituer un nombre a, on multiplie le coefficient du premier terme par a et on ajoute le coefficient du second terme; on multiplie la somme par a et on ajoute le coefficient du troisième terme ; on tnultiplie la nouvelle somme par a et on ajoute le coefficient du terme suivant et ainsi de suite, la dernière somme obtenue est le résultat cherché.