Exemple. Séparer les racines de l’équation

y — x 3 — 5a: 3 -b iOx 1 — 20 x — 15 = J3.

Cherchons d’abord les limites des racines, en écrivant l’équation sous la forme

x 3 (x- — 5) -b 5 (Sx* — 4a; — 3) = 0

on reconnaît que x = 3 est une limite supérieure des racines positives. Changeons x en — x; la limite supérieure des racines de la transformée

est 1 -b f/20 , donc — 6 est une limite inférieure des racines négatives de la proposée. Substituons les nombres entiers compris entre les limites, nous obtenons le tableau suivant:

L’inspection de ces résultats montre qu’il y a trois racines , l’une positive entre 2 et 3, les deux autres négatives entre 0 et — 1 et entre — 3 et — 4. Il est d’ailleurs peu probable que l’équation puisse avoir d’autres racines positives. En effet, si l’on représente comme il a été dit (§1) les résultats de la substitution des divers nombres choisis, la figure obtenue fait

penser que la séparation est complète , car l’équation ne peut avoir plus de deux racines négatives.

1 01. Remarque. Toutefois les indications d’une pareille figure pourraient dans certains cas particuliers induire complètement en erreur sur les recherches ultérieures à faire. Pour en donner un exemple, soit l’équation

La substitution des nombres — 2 , — 1,0, 1 , 2 donne — 645, 2, 5, 6, 239, et le tracé graphique de la courbe, qui paraît d’après ces résultats devoir représenter la fonction, ne fait nullement pressentir l’existence de racines positives dans le voisinage des nombres substitués.

Cependant la substitution de ~ dans le premier nombre donne

un résultat négatif, en sorte que l’équation proposée a au moins deux racines entre 0 et 1.

102. Comment on détermine le nombre des racines comprises entre deux nombres donnés. Théorème de Sturm.

11 est donc nécessaire d’avoir un moyen sûr de reconnaître combien il y a de racines entre deux nombres donnés.

Un y arrive à l’aide d’un théorème dû à M. Sturm, et qui, à cause de son extrême importance , a conservé le nom de son auteur. Nous n’en donnerons pas la démonstration, mais nous croyons indispensable à la solution complète du problème que nous nous sommes proposé , d’en montrer l’application.

Voici en quoi consiste ce théorème.

Soit une équation V = 0 qui n’a plus de racines égales, prenons la dérivée V, de V et divisons V par V, , nous obtiendrons un reste , soit V, ce reste changé de signe ; divisons V, par V,, nous obtiendrons un nouveau reste, soit V, ce reste changé de signe; divisons V s par V,, etc., en d’autres termes, effectuons les opérations de la recherche du plus grand commun diviseur entre V et sa dérivée , en ayant soin de changer à chaque division le signe du reste ; nous parviendrons à un reste numérique, puisque l’équation n’a pas de racines égales, soit. V r ce reste changé de signe. Écrivons la suite des fonctions

Cela posé, pour savoir. combien l’équation V = 0 a de racines entre les deux nombres a et p , P étant plus grand que a; substituons a dans la suite des fonctions et écrivons les signes des résultats successifs obtenus; substituons de même P; comptons le nombre des variations que présente la suite (a) et le nombre de variations que présente la suite (P), la différence entre ces deux nombres sera le nombre des racines comprises entre a et p.

103. En particulier, si on veut savoir combien l'équation proposée a de racines positives et de racines négatives , il faudra substituer dans la suite des fonctions — cc , 0, oo , ce qui revient à écrire les signes des premiers termes et des derniers ternies des fonctions. D’après cela, on écrira: 1° la suite des signes des premiers termes , en ayant soin de les changer lorsque les termes sont de degré impair; 2° la suite des signes des derniers termes; 3° la suite des signes des premiers termes. Un formera ainsi un tableau tel que le suivant :

Vr