OO

rü

n, n', n" étant les nombres des variations des trois suites, l’équation aura n — n' racines négatives et n — n" racines positives, en tout n — n" racines réelles.

KM. Exemple I. Soit l’équation

V = x * — 5aé + 10a: 3 — 20<r — 15 = 0.

On a V, = x' — Sx* + 4x — 4 V, = 2ar’ — fia: 3 -I- 16a; + 15 V 3 = Ax- + 55 a: + 53 V, = 1832 a: — 1783

D’après le théorème de Descartes, l’équation proposée peut avoir trois racines positives et deux racines négatives. Appliquons le théorème de Sturm. Nous obtenons le tableau suivant:

— oc

L’équation a donc deux racines négatives et une seule racine positive.

Les trois racines séparées § 100 sont donc les seules racines réelles de l’équation proposée.

Lorsque l’application du théorème de Sturm révélera l’existence de plusieurs racines , positives par exemple , il pourra arriver que la substitution de la suite des nombres entiers de 0 à la limite supérieure L des racines positives ne sépare pas les racines, ou que cette suite soit trop nombreuse pour essayer la substitution; il faut alors dans la suite (x) des fonctions substituer des nombres compris dans l’intervalle de 0 à L, de façon à connaître le nombre des racines comprises dans

les nouveaux intervalles qu’ils déterminent. Par exemple, si les racines positives de l’équation étaient entre 0 et 100, il faudrait chercher combien il y en a entre 0 et 50; si elles sont toutes entre 0 et 50, on cherchera combien il y en a entre 0 et 25 et, par suite, entre 25 et 50, et ainsi de suite.