Exemple II. Soit donnée l’équation

On a V, = a: s — 40a: 3 4- 5a: 5 — 40a; H- 1 V s = 4a:* — x 3 -f- 16a: 5 — x + 330 V, = 701a: 3 — 68a: 1 4- 1959a: + 314 V, = — 67288 a: 5 + 553067 a: — 40501906 V, = 110316422677a: 4- 917865361528 V 6 = +

Le théorème de Descartes apprend que l’équation V = 0 peut avoir cinq racines positives et une racine négative ; d’ailleurs nous savons qu’elle a au moins une racine positive et une négative. Appliquons le théorème de Sturm pour savoir si elle a plus d’une racine positive. On a le tableau suivant :

Donc l’équation proposée n’a qu’une racine positive. D’autre part la limite supérieure des racines est 42; substituons d’abord dans V les nombres simples: 10, 20, 30, alin de resserrer la racine entre deux nombres de dizaines. La substitution de 10 donne un résultat positif, donc la racine est entre 0 et 10. Substituons 5, le résultat est négatif, la racine est entre 5 et 10 ; substituons 7, on a le signe — , enfin 8 donne le signe -4-. La racine positive est donc comprise entre les deux nombres 7 et 8. On pourra continuer de la même manière en substituant toujours la moyenne des deux derniers nombres dont la substitution a donné des signes contraires. Nous verrons plus loin comment on approchera plus rapidement de la valeur exacte en faisant les substitutions d’après une autre loi.

L’exemple qui vient d’être traité montre que le théorème de Sturm est d’un usage pénible; aussi ne doit-on l’employer que dans les cas où il est impossible d’avoir recours à des artifices particuliers ou à des théorèmes d’une application plus simple, telle que ceux de Descartes (§ 46) et de Rolle ($ 40). Nous allons montrer sur quelques exemples comment on peut quelquefois séparer d’une manière assez rapide toutes les racines d’une équation , sans avoir recours au théorème de Sturm.