Exemple 111. Reprenons l’équation déjà traitée

x' — 'ôx' + 10æ’ — 20 x — 15 = 0.

Elle ne peut, d’après le théorème de Descartes, avoir plus de trois racines positives, et nous avons vu que ces Rois racines, si elles existent, sont comprises entre 0 et 3. Mais si l’équation a trois racines entre 0 et 3, la dérivée

doit avoir au moins deux racines entre ces deux nombres. Cette dérivée peut avoir trois racines positives; en y substituant 0 et 3, les résultats sont de signe contraire; elle a donc trois racines entre 0 et 3 ou une. Si cette équation a trois racines entre 0 et 3 , sa dérivée

2x 3 — Ox -+- 2 = 0

doit avoir au moins deux racines entre 0 et 3; or (§ 77), cette équation n’a qu’une seule racine qui est négative, donc la précédente n’a qu’une racine entre 0 et 3 et, par suite, la proposée a une seule racine positive.

Quant aux deux racines négatives que l’équation peut avoir, elles ont été séparées plus haut.

106. Exemple IV. Donnons encore un exemple où l’application du théorème de Sturm n’est pas indispensable.

Soit l’équation

x’ — ix a + x 3 — 2 = 0.

Elle a une racine positive et pas plus de trois d’après le théorème de Descartes.

La transformée en — x

x' + ix' + x 3 + 2 = 0

n’a pas de racines positives, donc la proposée, n’a pas de racines négatives.

En écrivant le premier nombre sous la forme x* ( x 3 — *4) + x 3 — 2 =0, a

on voit que x — t/4 est une limite supérieure des racines

et que t/2 en est une limite inférieure, c’est-à-dire que toutes les racines de l’équation sont entre 1 , 2 et 1 , 6. Mais si l’équation a trois racines dans cet intervalle, la dérivée doit en avoir an moins deux dans le môme intervalle. Or, la dérivée du premier membre, égalée à zéro, donne

x % \x (Ix 3 — 16) + 31 = 0.

Le premier membre a le même signe pour x 3 = 4 et pour a? = 2, et il n’en change pas dans l’intervalle, car la dérivée de cette dernière équation aurait une racine entre 1 , 2 et 1 , 6. Or, cette dérivée, égalée à zéro, donne

x ( Ix 3 — 8) + 1 = 0;

elle n’a pas de racines entre les limites précédentes, donc la première dérivée n’a pas de racines dans le même intervalle, donc la proposée n’a qu’une racine positive.

107. De la marche à suivre pour résoudre une équation algébrique. L’équation étant mise sous forme entière, f (x)=0.

1° On cherchera les racines commensurables égales ou inégales. En employant la méthode exposée (§ 91), on obtiendra une équation qui n’aura plus que des racines incommensurables ou des racines imaginaires.

2° Si le degré de cette équation dépasse cinq, on lui appliquera la méthode des racines égales. On reconnaîtra ainsi qu’elle n’a pas de racines égales, ou bien sa résolution sera ramenée à celle d’équations dont toutes les racines sont différentes.

3° Ou cherchera , par un certain nombre de substitutions faciles, à séparer toutes les racines des équations obtenues, en s’aidant, s’il est nécessaire, du théorème de Kolle.

4° Si la séparation n’est pas complète, on appliquera pour l’achever le théorème de Sturm. Les racines étant séparées :

5° On emploiera les procédés décrits plus loin (§ 137) pour obtenir l’une quelconque des racines avec autant d’approximation que l’on voudra.

Ainsi se trouvera complètement effectuée la recherche des racines réelles d’une équation algébrique numérique de degré quelconque.

Séparation des racines d’une équation transcendante.

108. Nous avons déjà dit qu’on ne pouvait en général assigner de limites au nombre et à la grandeur des racines d’une équation transcendante, et qu’un examen spécial était nécessaire dans chaque cas particulier pour avoir des notions plus ou moins complètes sur cette double question.

L’étude de la dérivée du premier membre pourra aussi jeter quelque lumière sur cette recherche. Pour expliquer d’une manière précise la marche à suivre dans les divers cas que l’on peut rencontrer, il est nécessaire de prendre quelques exemples.