AC = AB

AC = — h.

AM

AM -h B N F (g)

La différence algébrique qui compose le dénominateur est une somme arithmétique, puisque F (a) est négatif. On voit que , pour effectuer la correction , il suffit de connaître les résultats de la substitution de a et a -+- h dans le premier membre de l’équation , et que les corrections successives donneront ries valeurs approchées par excès de la racine exacte.

Quant à la rapidité de l’approximation, la figure montre que l’erreur RC, commise après la correction, est de même ordre que la flèche de l’arc MN, et, par conséquent, du second ordre relativement à la corde MN ou à sa projection AB, en d’autres termes , l’erreur est de l’ordre du carré de h ; en sorte que si h est du n c ordre décimal, l’erreur résultant de la correction sera du 2 n c ordre décimal, et on ne devra conserver dans la valeur corrigée que les décimales d’ordre inférieur.

L’examen des divers cas qui peuvent se présenter va nous conduire à des caractères algébriques qui fixeront le sens de la correction. La courbe ne peut, en effet, présenter que les quatre formes suivantes :

Considérons les signes de F' (x) et de F" (x) dans l’intervalle h, et indiquons par le signe ± le sens de la •correction, selon qu’elle a pour résultat de fournir une valeur supérieure ou inférieure à la valeur exacte.

A l’inspection des figures on peut former le tableau suivant :

Fig.

Correction.

D’où il résulte que si F' et F" sont de même signe pour x — ci, la valeur corrigée est approchée par défaut; si F' et F” sont de signes contraires, la valeur corrigée est approchée par excès. En sorte que le tracé des figures qui précède est inutile pour le calcul , et l’on peut formuler la règle suivante :

Lorsque deux nombres a et b comprennent une racine d’une équation, si A et B représentent les valeurs absolues des résultats de la substitution de ces deux nombres dans le premier membre, on obtient une valeur plus approchée de la racine en augmentant le plus petit des deux nombres de la qualité

La substitution de la nouvelle valeur Servira de la même manière à calculer une seconde valeur plus approchée. Les exemples nombreux traités S 141 et suivants, montreront qu’à l’aide d’un petit nombre de substitutions convenablement dirigées, on obtient rapidement des valeurs très-approchées des racines d’une équation algébrique ou transcendante.

Lorsque deux nombres donnent des résultats de même signe, on peut néanmoins faire une correction à l’aide des résultats de leur substitution s’ils sont voisins de la racine, mais elle n’a pas la certitude qui résulte des conditions précédentes.

— Ît9 —

On peut, en effet, calculer une correction AC à l’aide des deux triangles AMC, A'M'C, qui donnent