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et les ligures montrent que, par une suite de corrections analogues, on peut encore avoir une valeur aussi approchée que l’on voudra de la racine.

La méthode de correction qui vient d’être exposée porte le nom de méthode des parties proportionnelles.

Des considérations analogues vont nous conduire à un autre procédé de correction, désigné sons le nom de Méthode de Newton.

138. Méthode de Newton. Soient toujours a et a -h h deux valeurs comprenant une racine de F (x) = 0, et supposons que la fonction F (a:) satisfasse dans l’intervalle h aux conditions précédemment définies $ 137. Menons au point M la tangente MT;

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elle détermine à partir du point A une longueur AT, que nous prendrons pour valeur approchée de la correction exacte AR; en calcifiant la valeur TP de la fonction pour x =■ OT, on

pourra faire une nouvelle correction et ainsi de suite, on obtiendra des valeurs de plus en plus approchées de la racine.

Pour avoir l’expression de la correction AT, remarquons que

AM F (a)

A 1 tg ATM ~ F' (a) '

Pour la calculer, il ne suffit pas de former F (a) et F' (a).

En effet, pour que le tracé de la tangente donne un point compris entre A et B , il n’est point indifférent de la mener en M ou en N , la tangente menée en N pouvant couper l’axe des x à gauche du point A. L’examen des diverses formes que peut présenter la courbe représentant le premier membre de l’équation (§ 137), montre que la tangente doit être menée à celui des points M ou N, pour lequel F (x) et F" (x) sont de même signe, en sorte qu’il faudra choisir d’abord le point de départ a ou a -h h de la correction , choix que ne nécessite pas la méthode précédente.

Remarquons toutefois que la correction de Newton est de sens contraire à celle que fournit la méthode des parties proportionnelles, ainsi que l’indiquent les figures; de sorte que si on emploie concurremment les deux procédés, la racine est toujours comprise entre les valeurs approchées qu’ils fournissent. D’ailleurs la rapidité de l’approximation est la même , car l’erreur TC de la correction est du second ordre relativement à h et pour des raisons semblables à celles données plus haut.

139. De l’approximation que l’on doit atteindre dans le calcul des substitutions.

Soit une équation

Soient a et « -t- h deux valeurs qui comprennent une racine de f (x) = 0 et que l’on doit substituer dans F (x) pour avoir une valeur plus approchée de la racine , soit par la méthode des parties proportionnelles, soit par celle de Newton. Il est aisé de voir qu’il suffira de connaître F (a) et F (a -t- h) avec l’approximation même que l’on peut obtenir par la correction. En effet, on voit sur la figure 5

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que l’erreur CC' qui résulte des erreurs MM', NN' commises sur F (a) et F (a -t- h) est de même ordre que ces erreurs; si donc par la correction on veut avoir une valeur approchée de la racine avec une erreur de l’ordre de /<’, il faut calculer avec cette même approximation les résultats des substitutions. Il sera bon toutefois de prendre une décimale de plus pour assurer l’exactitude de la correction.

140. De la manière d’effectuer les substitutions. Nous avons vu (8 99) , lorsque l’équation est algébrique-, comment on y substitue des nombres simples ; ces substitutions ont pour but de séparer les racines. Celles que nous avons à effectuer sont plus pénibles. Or, la première correction obtenue à l’aide des substitutions des deux nombres entiers qui comprennent la racine donnera une valeur approchée évaluée en dixièmes et qu’il faut substituer à son tour. On pourra employer à cet effet la table des puissances des nombres (Tab. IV) et on aura le résultat cherché par des calculs faciles si les coefficients des divers termes sont simples. Dans le cas contraire , on emploiera le procédé de la multiplication abrégée ou bien les logarithmes. Lorsqu’on sera parvenu à connaître la racine avec un certain nombre de décimales, quatre par exemple, on pourra calculer le résultat de la substitution de deux nombres voisins de la racine par la formule approchée

ce qui exige la substitution du nombre a dans la fonction F'. On voit que le calcul sera presque aussi long que celui de la substitution directe de a -f h dans f (x), et celte dernière a

l’avantage de s’eflectuer par une série de calculs dont on a le tableau fait.

Lorsque l’équation sera transcendante, on emploiera également les tables V et VI ou des calculs directs quand leur petite étendue ne permettra pas de s’en servir, à moins que par un changement d’inconnue la grandeur de la racine ne rentre dans les limites entre lesquelles elles sont construites.

Généralement, on voit qu’il conviendra d’effectuer directement chaque substitution dans le premier membre de la proposée , et qu’il y aura peu d’avantage à se servir des substitutions déjà faites. On profitera seulement de la forme de l’équation pour faciliter le calcul des substitutions, comme on le voit, dans les exemples donnés plus loin.

Quant à l’ordre à suivre dans les substitutions, on pourra procéder comme il suit :

1° La substitution des nombres a et b donnera une première correction, c’est-à-dire une nouvelle valeur OC — b' (fig. I); a et b' en donneront une seconde b", a et b" en fourniront une autre b'", et ainsi de suite.

2° Ayant trouvé la seconde valeur b', on substituera un nombre a' plus grand que a et plus petit que b’. Si le résultat est de signe contraire à celui que donne b', les nombres a’ et b 1 serviront de nouveau point de départ , et on pourra continuer de l’une ou l’autre manière. Si «' et b' donnent des résultats de même signe , on pourra néanmoins faire une nouvelle correction qui fournira une valeur dont la substitution donnera un résultat de même signe ou de signe contraire à ceux qu’ont donnés a' et b 1 (fig. 3); s’il est de signe contraire, on retombe sur le premier cas; s’il est de même signe, on pourra employer a' et b' à une nouvelle correction b", puis a' et b ", et ainsi de suite.

Quel que soit l’ordre suivi, on voit aisément que les corrections successives donneront généralement un nombre de décimales double de celui qui a déjà été obtenu.

En effet, nous avons déjà vu (jÇ 137) que F (a-f- h) et F (a)

étant de même urdre et de signe contraire, l’erreur, après une première correction qui donne b', est de l’ordre de h*. Si on fait une nouvelle correction à l’aide de a,. b', AM = F (à) et CP = F ( b '), (fig. 1); comme CP est de l’ordre de CR, c’està-dire de l’ordre de A 1 , la seconde correction