APPLICATIONS

Nous allons appliquer à quelques exemples les méthodes que nous avons exposées.

Équations algébriques.

141. Exemple I. Lorsqu’on étudie la résistance d’une poutre supportée par quatre appuis , on rencontre l’équation

On voit qu’elle n’a qu’une racine positive comprise entre 0 et 1.

Application de la méthode algébrique. La racine étant entre 0 et 1, substituons 0, 5, on a un résultat négatif — 9,75; d’ailleurs 1 donne -t- 7 ; on écrira ces résultats comme il suit :

Correction.

On fera une correction par la méthode des parties propor-

tionnelles, ce qui donne 0,8. On substituera donc 0,8, ce qui fera reconnaître que l’on doit substituer un nombre plus grand 0,9; on obtient ainsi les résultats suivants:

qui donnent pour correction 0,06, et de là les substitutions suivantes :

En se bornant à 4 décimales, on a pour x la valeur x = 0,8590,

que l’on doit regarder comme exacte , à moins d’un dix-millième; s’il est nécessaire d’en avoir la certitude, on substituera 0,8590 , qui donne un résultat négatif, puis 0,8591 , et comme on obtient un résultat positif, le nombre obtenu est exact à moins d’un dix -millième.

Application de la méthode graphique. Dans ce cas on doit trouver le point ou la parabole y = x * coupe l’hyperbole

Wxy 12 y — 9# — 10 = 0.

Pour cela on construit un point de l’hyperbole et les deux asymptotes

il est aisé alors de construire deux points de l’hyperbole voisins de la parabole; en prenant cinq centimètres pour unité, on mesure aisément la valeur approchée

et deux substitutions donnent x avec quatre décimales.

142. Exemple II. Dans la même question se présente l’équation

Comme lu précédente, elle n’a qu’une racine positive, comprise entre 0 et 1 , ce qui conduit aux substitutions suivantes :

. Correction.

x = 0,91335 est la racine approchée à moins d’un cent millième. Observons que la première correction 0,6 aurait conduit à substituer un nombre plus grand que 1 ; on a donc dû diminuer de 0,2 la grandeur de cette correction, puisque l’on sait que la racine est moindre que 1. On a aussi calculé la substitution de 0,9 avec une exactitude plus grande qu’il n’était nécessaire pour calculer la correction en y joignant le résultat de la substitution de 1 ; mais cette approximation a été utile pour le calcul d’une correction nouvelle résultant de la substitution de 0,912. C’est ainsi que, pour les corrections qui suivent celle que l’on a en vue, il est souvent utile de calculer la substitution d’un nombre avec plus d’exactitude qu’il n’est indiqué a priori.

143. Exemple III. Ouelquelois la forme particulière d’une équation permet de rendre plus simple le calcul des substitutions. Soit l’équation déjà considérée (§ 106)

Nous avons vu qu’elle a une racine entre 1 ,2 et 1 ,6 ; une correction donne 1,50; mettons l’équation sous la forme

lga; 4 + lg (4 — æ 3 ) — 1g (æ 3 — 2) = 0.

Si on pose x* = i, z sera compris entre 2 et 4, l’équation devient

ii = | Ig* + Ig (4 — z) — Ig (* — 2) = O,

et puisque la valeur de x est voisine de 1,50, x * est voisin de 3,37, ce qui conduit au tableau des substitutions indiquées cidessous.

Correction.

A la valeur z = 3,70275 correspond pour x la valeur 1,54706, approchée à moins d’un cent-millième.

Équations transcendantes.

144. Exemple IV. Calculer les racines de l’équation sin2x -+- sinx = x.

Nous avons vu (§ 109) que cette équation a une racine entre ^ et Pour en approcher d’avantage, mettons l’équation sous la forme

sin "g - cos çj ^ >

puis posant ? = z et remarquant que l’arc z s’exprime en se-

secondes par z — „ . .?! z", il vient

sin3s cos* = *

z désignant maintenant un nombre de secondes. Prenons les logarithmes des deux membres, il faut rendre nulle la fonction

u = lgsin3* + Ig cos * Ig* -f- ctlg 648 qqq — 10.

Or, x étant compris entre ^ et z sera compris entre 30°

et 45°. Substituons la moyenne 38°. Nous sommes conduits aux substitutions suivantes :

Correction.

Aussi i = 39° 15' 22", 3, d’où x = 78» 30' 44”, 6.