Exemple V. Nous avons vu (§ 110) que l’équation
1 , cos a:
3tt
a une seule racine comprise entre x et . Mettons l’équation sous la forme
2 sin’ ÿ x — x Ig®,
remplaçons x par
TZX
et prenons les logarithmes des deux
membres, nous aurons à résoudre l’équation
« = Ig2 -f- 2lgsiri — Igfc® — Iglgfca: = 0,
k désignant le nombre ^qqq -
Substituant d’abord une moyenne entre 180° et 270°, on forme successivement le tableau suivant :
Correction.
d’où æ = 201° 54' 39", 3.
146. Exemple VI. Trouver la plus petite racine de l’équation 2* = x tg.r.
Un voit qu’elle a une racine un peu supérieure à 1. Pour la calculer, prenons les logarithmes et exprimons x en secondes, il vient
kx Ig2 — lgfca: — lgtg x = 0.
L’arc égal à 1 étant de 57° environ, substituons 60°. Nous formons le tableau suivant :
Correction.
Ainsi x = 62° 50' 59", 95.
147. Exemple VII. Etant donnée une hyperbole équilalère x* — y * = 1 , calculer l’abscisse du pied de l’ordonnée qui détermine entre les asymptotes un triangle dont l’aire soit double de celle du segment hyperbolique limité à la même ordonnée.
L’équation du problème est
La construction de l’hyperbole montre que la racine est peu inférieure à 2.
Nous avons vu (§ 135) que celte équation peut se mettre sous la forme
M (æ + 1) (2 — 3) = 4æ log«,
en posant x -t- \/ x * — 1 = [/ z, M désignant le module 0,434....
En prenant les logarithmes , on a l’équation
m = )g (z 1) 4- Ig (s — 3) — IgÆ — lgtg z ■ — 0,9642758.
Comme x est voisin de 2 , z est voisin de 12, d’où les calculs qui suivent:
Correction.
donc z = 12,27462,
par suite x = 1 ,89446.
148. Exemple VIII. Une corde est fixée à deux points situés à la même hauteur et distants de 50 mètres. Quelle doit être la longueur de la corde pour que la flèche de l’arc soit de 7 mètres ?
La mécanique donne pour résoudre ce problème les deux relations suivantes :
dans lesquelles f désigne la flèche, 2 a la distance des deux points et L la longueur de la corde.
On peut tirer u de la première et à l’aide de la seconde avoir L ou bien éliminer u entre les deux équations. Or, on a :
eu ~ L"- '2 r
en sorte que l’équation à résoudre dans le cas actuel est
f 8 af L — LV — if '
Mettant pour f et a leurs valeurs, on a
« li -f- 14 ,r - \- \
Soit j = x, d’où L = 14 — - — j , il vient
25 (a* — 1 )’ lx = .
Pour trouver une première valeur approchée, posons y — lx, x sera égale à l’abscisse du point d’intersection de cette courbe avec l’hyperbole
Construisons l’asymptote
V = Ï4 ix ~ 2) ’
puis l’hyperbole dans le voisinage du point d’intersection de l’asymptote avec y = lx; la mesure de l’abscisse du point de rencontre des deux courbes donne x = 1,73.
Pour employer le calcul, introduisons les log. vulgaires, on a
u = Ig.T — 0,715525 — — .
Substituons 1,73, nous formerons le tableau suivant :
d’où
et
s ! Correction.
Si on avait voulu calculer u à l’aide de la première équation , on voit aisément qu’en posant ^ = x, x aurait pu être déterminé par l’intersection de la courbe
avec la droite
Remarque. Nous avons fait chaque correction par la méthode des parties proportionnelles, parce qu’il n’est besoin de faire aucun examen de la marche de la fonction F (x) dans l’intervalle des nombres a et b, tandis que la méthode de Newton non-seulement exige un examen préalable, ainsi qu’on l’a vu, mais devient inapplicable si, dans le cas où il y a inflexion , F (x) et F" (x) sont de signes contraires pour x — a et pour x = b.
