RECHERCHE DES RACINES D'UNE ÉQUATION DE LA FORME

f f (.*) dx = 0.

149. On peut avoir à résoudre une équation dont le premier membre est une intégrale prise entre deux limites , l’une déterminée a, l’autre indéterminée x, et qu’il s’agit de calculer de façon qu’entre les limites a et a:

J f ( x ) dx = 0.

On résoudra aisément la question par le procédé suivant; la longueur des calculs dépendra surtout de l’approximation que l’on veut obtenir.

Construisons la courbe y = f (x), soit ABC la figure obtenue et OP = a;

la courbe aura nécessairement des points au-dessous de Ox, sans quoi l’intégrale ne pourrait être nulle. La courbe étant exactement construite, déterminons approximativement un point C, tel que l’aire BCQ, variable avec la position du point C, soit sensiblement équivalente à Faire fixe ABP. Puis calculons les deux aires ABP, BCQ, soit en les décomposant en trapèzes, soit en employant la méthode de Poncelet ou de T. Simpson. Soient S et S' les deux aires approchées. Prenons la différence S — S' = D. Si celte différence est graphiquement appréciable , on fera immédiatement une correction à la position du point C; si elle est petite, on calculera la correction à faire à l’abscisse du point C, et voici comment.

Soit OQ' = b -h h l’abscisse dont on a la valeur approchée b , on a dans la figure

CC* QQ 1 = D = hy + ^ + t .

e étant d’ordre inférieur à h im , d’où

avec une erreur de l’ordre du carré de h. Toutefois, il faut remarquer que si 8 est l’erreur résultant du calcul des deux termes S et S' de la différence D , l’erreur commise sur h ne b

peut être inférieure à - ; en sorte que l’erreur commise sur la

racine cherchée est du même ordre que l’erreur commise dans l’évaluation des aires , à moins que y ne soit ou très-grand ou très-petit.