DE L’INTERPOLATION

158. Le but général de l’interpolation est de calculer les valeurs d’une fonction dont l’expression générale est inconnue , pour des valeurs de la variable voisines de valeurs particulières auxquelles correspondent des valeurs connues de la fonction.

Four résoudre cette question , on cherche une fonction qui prenne les valeurs données pour les valeurs correspondantes de la variable, et à l’aide de cette fonction ainsi déterminée, on calcule les valeurs de la fonction inconnue pour des valeurs de la variable voisines de celles qui sont données. Un pareil problème est tout à fait indéterminé, et il y a une infinité de fonctions qui jouissent de la propriété demandée. Mais dans l’impossibilité où l’on est en général d’en fixer la forme, on se propose de déterminer une fonction algébrique entière qui satisfasse aux diverses conditions. Cette restriction n’est point encore suffisante; ainsi les deux fonctions entières 9 -f- 36a;* et 9 4- 8a: 4- 4a: 1

prennent les mêmes valeurs pour* = 0, 1, 2. 11 faut alors, pour que le problème ait une solution unique , le poser comme il suit : Trouver une fonction de degré m qui, pour m -+- 1 valeurs de la variable, prenne m -+- 1 valeurs données.

159. Formule d’ interpolation de Newton. Considérons d’abord le cas où l’on connaît les valeurs

U,, H, Km

d’une fonction , correspondant à des valeurs de la variable en progression arithmétique

formons les m différences Aw 0 , A s m 0 , A"'m 0 , et dans la

formule indéfinie

« = K» + «Att 0 H * ■ ’ A*K 0 4-

remplaçons n par

~j~i >1 vient

x — x , —j— Au,

x—x t fx—x, .U’#,

~h~ Il “Mts +

A*Kq

el la fonction algébrique de degré m ainsi déterminée jouit des propriétés demandées. En effet, si on y donne à x les valeurs x 0 , x u "+" h,.... le second membre devient u 0 , m, .... Cette fonction est unique, car deux fonctions de degré m, qui prennent les mêmes valeurs pour m -+- 1 valeurs de la variable, sont identiques. On pourra l'employer au calcul des valeurs de la fonction inconune pour des valeurs de x comprises entre x 0 et x 0 ■+- mh. Cette formule est due à Newton. Pour la calculer dans chaque cas, on formera d’abord Aî* 0 , A*w 0 , et pour

abréger on remplacera — ^ — - par

160. Formule d’interpolation de Lagrange. Lorsque les valeurs de la variable auxquelles correspondent les m valeurs données de la fonction, ne sont pas équidistantes, on a recours à une autre formule.

Pour la déterminer, considérons la fonction

« = X„ U, + X, U, + X, U. .... -f- Xm Um

où X 0 , X, .... désignent des fonctions de x; le second membre représentera la fonction cherchée si, pour x = x n , toutes les fonctions X s’annullent, sauf X„ , et si en même temps X» devient égal à 1 .

Posons

et prenons

les premières conditions seront satisfaites; en outre, X„ doit être égal à 1 quand x ,v n , il faut donc que soit égal à

la valeur du polynôme entier ^ pour x = ,e„

Or, on a (§ 15)

X X „ Xn,

faisant x = x» , tous les termes du second membre s’annullent, sauf le quotient — — — , et on voit que sa valeur est re-

présentée par /’ (x K ), donc

~ f Un )

et la formule cherchée est

H ~ x—x, ' f (j-,) ‘ x—x, ' r (^i) ^ X—Xm 7" (*.)'

Si l’on a uniquement pour but de l’employer au calcul , on mettra f (x) en facteur et on aura

A„, A,, A,.... étant des nombres faciles à calculer. On calculera chaque terme de la parenthèse par logarithmes pour chaque valeur particulière de x, et la parenthèse calculée 5 on aura aisément lgw.

Si la fonction n’a qu’un petit nombre de termes, il sera préférable de la mettre sous forme entière en effectuant les calculs.

Les calculs nécessaires pour l’établir sont pénibles, ainsi que son application. On verra plus loin qu’un tracé graphique pourra souvent la remplacer utilement.

Remarques. En se donnant a priori les conditions de forme que remplissent ces deux formules précédentes, on renonce à trouver des expressions souvent plus simples qui rempliraient le but que l’on a en Mie.

Exemple. Supposons que pour les valeurs 0 , 1 , 2 , 3

de la variable une fonction prenne les valeurs

Pour appliquer la formule de Newton, calculons le tableau suivant :

d’où

u 0 = 6, A «„ = - 3, A 'u 0 et par suite

2 , A*tt„ =

tandis que la fonction plus simple

s’appliquerait beaucoup plus facilement au calcul.

L’emploi des formules précédentes résulte de l’impossibilité où l’on est de prévoir la forme la plus commode que l’on puisse adopter, et on en fait usage d’ordinaire quand leur degré est peu élevé et ne passe pas le troisième ou le quatrième , et seulement pour des valeurs de la variable comprises entre celles qui sont données ou très-voisines.

On a souvent besoin de représenter par une formule les résultats donnés par l’expérience dans des conditions définies. Mais cette formule n’est utile que si elle est l’expression d’une loi simple. Imaginons que l’on ait représenté graphiquement les valeurs de la fonction inconnue pour diverses valeurs de la variable que nous supposerons équidistantes.

En joignant ces points par une série de cordes, nous obtiendrons un certain polygone et nous admettrons que les observations, qui ont donné la série des points figurés, correspondent à des valeurs de la variable assez voisines pour que la distance des points intermédiaires à la corde qui joint deux points successifs soit du second ordre par rapport à la longueur de la corde. Examinons la forme de cette courbe dans une étendue suffisante et comparons- la à différentes courbes représentant des fonctions simples, il pourra arriver que cette comparaison indique la fonction la plus propre à représenter la courbe tracée. Supposons, pour fixer les idées, que la forme de la courbe présente une grande ressemblance avec la logarithmique ; posons alors

.'/ = a Ig.r,

l’origine étant choisie de façon que, pour a; = 1, l’ordonnée de la courbe tracée soit nulle. Construisons la logarithmique à la même échelle, en prenant pour a une valeur telle que les ordonnées des deux courbes coïncident pour une certaine abscisse arbitraire a. Cette construction montrera la différence entre les ordonnées des deux courbes pour une abscisse quelconque.

fl cf. 2

n f et

Supposons qu’on ait obtenu la figure ci-jointe, dans laquelle AL est la logarithmique et AC la courbe donnée; on voit que l’ordonnée de la courbe AL est plus petite que celle de AC quand x est inférieur à a ; le contraire a lieu quand x est supérieur à a.

Prenons alors

y — a Ig .- t -f- b (x - a). t

On pourra disposer de b de manière que les deux courbes aient un second point commun entre A et M ou à droite de M, soit p l’abscisse du second point commun. Si la fonction ainsi composée 11 e prenait pas encore pour les valeurs de x données des valeurs assez approchées de celles que prend la fonction inconnue, on ajouterait un nouveau terme de correction en prenant

y = alx + h (x — a) 4- c {x — et) (x — #)

et déterminant c de façon que les deux courbes aient un troisième point commun f.

Si la formule d’interpolation ainsi déterminée ne présentait pas encore une exactitude suffisante, le choix de la fonction y = al x pour représenter la marche générale de la fonction inconnue serait défectueux.

161. Substitution des tracés graphiques aux formules d’interpolation. Les longueurs que présente le calcul d’une formule d’interpolation sont telles et son application est si pénible, qu’il est préférable d’y substituer des constructions graphiques. Nous allons en donner un exemple.

Proposons-nous de trouver les valeurs de x qui satisfont à l’équation

•ta: 3 — 3a’ = a,

a désignant un paramètre arbitraire qui reçoit une série de ' valeurs positives distantes de 0,02 par exemple, à partir de 1.

On voit aisément que les valeurs de x qui satisfont à ces conditions sont plus grandes que 1 ; donnons à x une série de valeurs à partir de 1 et calculons les valeurs correspondantes de a, puis, au lieu de calculer à l’aide de ces substitutions une formule d’interpolation qui donne x en fonction de a, construisons une courbe en prenant x pour abscisse et a pour ordonnée, il est alors aisé de mesurer l’abscisse correspondant à telle ordonnée que l’on voudra dans les limites de l’épure.

Dans l’exemple particulier qui nous occupe, on aura des points suffisamment rapprochés pour le tracé en donnant à x

ni —

des valeurs distantes de 0,02, et les valeurs correspondantes de a s’obtiendront aisément par la méthode des différences (§ 156). C’est en construisant cette courbe à une échelle suffisante que la table VH a été obtenue. Observons que les erreurs de mesure peuvent être corrigées en prenant les différences des résultats obtenus et remarquant que leurs variations doivent présenter une certaine régularité.