DES ÉQUATIONS NUMÉRIQUES QUI RENFERMENT UN PARAMÈTRE ARBITRAIRE

162. On rencontre souvent dans les applications des équations qui renfennent un paramètre arbitraire, en sorte que pour chaque valeur de ce paramètre il faut résoudre une équation particulière.

Nous allons voir sur quelques exemples comment on peut former des tables pour la résolution de ces sortes d’équations.

163. Exemple I. Équation du troisième degré. J’emprunterai à M. Sarrus une transformation très-élégante qui ramène toute équation du troisième degré à ne dépendre que d’un seul paramètre , en lui donnant la forme trigonométrique

a désignant un nombre positif.

En effet, l’équation du troisième degré peut toujours, par l’évanouissement du second terme, se ramener à l’une des formes

y 1 — py + y = o y‘ + py + g = o

en échangeant, s’il est nécessaire, y en — y.

1° Supposons d’abord que l’équation soit

y 3 — pu + y = o.

posons

substituant et divisant par -g- J/ | , il vient

i/!Zî!

ce qu’il s’agissait d’établir.

2° Si l’équation est

y’ -h py ç —

posons

If

= 2 (/ jj(** — D-

Vl '

Substituant et divisant par y on a

Isolant le radical et élevant au carré, il vient

ou

et enfin

(4aé — 3.r) ! — t = -II’ 4w -

On voit que ces transformations supposent seulement p > 0.

Passons maintenant à la construction d’une table qui fasse connaître la valeur de x pour chaque valeur particulière de a. Pour cela procédons comme il a été dit (§ 161) : construisons à une échelle suffisante la courbe

et mesurons les valeurs de x correspondantes à des valeurs

données de y; on obtient ainsi les tables VII, dans lesquelles a et p désignent deux racines de même signe.

Pour faire une application de ces tables, soit l’équation :

On a dans ce cas a — 0,4 H ; à cette valeur correspondent dans la table les nombres

Multiplions-les par 2 |/| = 3,652 , il vient pour les valeurs

d’y en tenant compte des signes

164. La transformation dont M. Sarrus a fait usage dans le cas où p est négatif, peut s’appliquer à toute équation de la forme

y» dzpy ± q = 0.

Si l’on a seulement en vue de la ramener à une équation qui ne renferme qu’un paramètre arbitraire, on peut obtenir une forme plus simple en posant :

ce qui donne

k m x m . ~ |/ - ± kx . p |/ ^ + q = O, m y m r V m

divisant par

j — ra— 1

k m ' m y £ , et prenant k = Vm,

il vient

ou

Si p et q dépendent d’un seul paramètre , cette transforma-

lion ne sera pas nécessaire et on pourra opérer comme dans l’exemple suivant.

165. Exemple II. Détermination du diamètre d’un tuyau de conduite. Dans un certain cas particulier, on rencontre en hydraulique l’équation