D' — AD — 0,0255A

pour déterminer le diamètre D d’un tuyau de conduite, A étant un nombre positif compris entre 0 et 1. (Bresse, Hydraulique)

Pour construire une table propre au calcul de D, résolvons cette équation par rapport à A ,

Donnons à D des valeurs distantes de 0,01. On pourra, si l’on veut , mettre la valeur de A sous la forme approchée

pour calculer sa valeur quand D est plus petit que 0,3; et prendre

lorsque D est plus grand que 0,3.

On obtient ainsi la table VIII. L’application de la méthode graphique donnerait aisément une table des valeurs de D correspondant à des valeurs équidistantes de A. Toutefois, comme les ordonnées de la courbe qui représente D sont d’abord trèspetites, il faudrait construire à une très-grande échelle la partie de la courbe qui correspond à de petites valeurs de A.

166. Exemple III. Calcul de la détente de la valeur. Le travail développé par la vapeur dans la course du piston d’une machine est égal à

T = |j10000Pv(l +

(Morin , Méc. pratique.)

Le rapport ^ est ce qu’on nomme la détente. Pour la calculer lorsque T est donné par l’expérience, n, P, P', V, étant d’ailleurs connus, on peut mettre cette équation sous la forme

T + « 10000 p, = « 10000 pV

posant

\ ~ x el V, n . 10000P + P ~ a ’

il vient

\ -+- Ix __ x a '

équation que l’on résoudra à l’aide de la table IX.

167. Exemple IV. De la répartition d’une pression sur une base d’appui rectangulaire. En cherchant comment une pression totale se répartit sur un» base d’appui rectangulaire quand le centre de pression est donné sur une diagonale du rectangle entre certaines positions extrêmes , on arrive à l’équation suivante. (Bresse, Résistance des matériaux .)

où p désigne un nombre variable compris entre ^ et g.

Pour trouver les valeurs de m qui satisfont à cette équation, nous chercherons les limites entre lesquelles varie m quand 1 5

p varie entre ^ et g. Nous formerons ensuite une table des

valeurs de m pour des valeurs équidistantes de p.

L’équation précédente peut s’écrire

posant ï = x, il vient:

et en effectuant la division dans le second membre :

d’où l’on lire, en remplaçant par sa valeur, m 1

en sorte que les racines de l’équation proposée s’obtiendront par l’intersection des deux courbes

La première est indépendante de p; la seconde est une droite facile à construire pour chaque valeur de ce paramètre. En la traçant pour les valeurs extrêmes de p, savoir pour 1 5

p = ^ et p = g , on reconnaît que l’équation proposée, lorsque p reste compris entre les limites précédentes, peut avoir quatre racines. Deux d’entre elles sont plus petites que l’unité; une autre , la seule qui convienne au problème , est comprise entre 1 et 2; la quatrième est entre 2 et 5. Lorsque p dépasse une valeur un peu supérieure à 1 / 2 , les deux premières racines disparaissent, mais les deux dernières subsistent.

Pour calculer celle qui, pour les diverses valeurs de p, reste entre 1 et 2, donnons à m des valeurs distantes de 0, 1 , depuis 1 jusqu’à 2, nous obtenons le tableau suivant:

Construisons les valeurs de m correspondant aux diverses valeurs de p ; en prenant le mètre pour unité, les millièmes seront aisément représentés. La mesure des valeurs de m correspondant à des valeurs de p distantes de 0,02, donnera la table ci-dessous, pour servir au calcul de la valeur de m correspondant à une valeur donnée de p.

168. Condition de réalité des racines d’une équation renfermant un paramètre arbitraire. Il arrive fréquemment qu’une équation, renfermant un paramètre arbitraire, n’a plus de racines réelles lorsque ce paramètre dépasse certaines limites ou qu’elle en perd un certain nombre. Pour montrer comment

on arrive à la condition de réalité des racines de l’équation , prenons un exemple et soit l’équation

e* e~ x = 2 ax,

que l’on rencontre dans l’étude de la chaînette.

Si l’on pose y = e 1 -4- e~ x , les racines de cette équation seront déterminées par l’intersection de cette courbe ( fig. 14, page 26) avec la droite

y = 2 ax.

D’où l’on voit que l’équation proposée ne peut avoir plus de deux racines réelles et qu’elle n’en a aucune si a est inférieur à la valeur a', pour laquelle elle a deux racines égales. Or, on a vu, $47, que si une équation a deux racines égales, cette racine est commune à l’équation proposée et à la dérivée; on a donc à la fois

e* + e~ x = 2 ax et

Éliminant x, il vient

al (a+ J/V-f l) — \Za' + 1=0,

équation qui donne la valeur limite a'.

En traçant par l’origine une tangente à la courbe y = e* + e~ x , on trouvera une valeur approchée a' = 1,50, et à l’aide de l’équation on obtiendra la valeur plus approchée a! = 1,5089.