OO

Les formules (20') et (21') nous donneront ensuite, en tenantcompte de (i3) et (18'),

(?R,,o sin(r'- 9') /dRyA i J , . «„ ^Ri,o

Al — -1 {—~]—-cos-cos{t'—9') , 6*9 sinJ \ OT / 2 2 ^ âf}

, '; — — . T cos(t'— 9') , ' cos - sinç'sinfT'— & ) -^r^

dâ' sinJ ' \ dz J 2 2 ^ d/]

-^ \un,l si„,-cos(.-.) -...„< ^] [(%-«) . (^)].

Il n'y a plus qu'à porter ces dérivées partielles dans les formules («'); mais nous reviendrons en même temps à la première forme (5) des arguments D dans le développement de R,,o; nous aurons évidemment, par le simple rapprochement de (5) et (5'),

ôr J~~ dz' ' V àV J dl' \ dco' J ~ dm'

et nous trouverons finalement

, d9' m n'a' . , , ,,, <?Ri,o i m 2 , , ,,, <)R, 0

sin9' -7- = -, . sin(T'— 6') —.^ j , cos(t' — 6') -^

^ dt l^' sji — e'-'&mi àx' 2^' y^i e'2 ^ ' dn

/i'a'lang-

^ ^ Il AT» n'a' COS - .„

-±-=: — -p= COS(t'— 9') -3-^ H , Sm(T'~ 0') — j-i^

dt ix' y/i — e'>!sinJ <^t 2 fx' y'i — e'^ <?ï3

/l'a'lang -

\ f^Wi

132. Nous allons écrire de nouveau l'ensemble des formules auxquelles nous venons d'arriver; nous y joindrons celles qui donnent —■ et-r^- d'après la formule (28) du n" 75; enfin, dans les coefficients des dérivées partielles de Ro,, et R,^o> nous ferons avec Le Verrier

(22) e^rsin-j', e'=sin'|'.

TRANSFORMATION DES DIFFÉRENTIELLES DES ÉLÉMENTS ELLIPTIQUES. 32n

Dans l'expression de -j-> nous remplacerons —~ par sa valeur tirée de la première des équations (A).

Cela posé, les formules (A) et (A'), (B) et (B') deviendront

a'R,^^=z'^Ne''e"U■^cos'D,

D = il + i' U + /roj + k'w' + mt' ;

dt [JL dX dt^ fx dX

^£ m' , <?Ro j m' 1*4' ^Bo.i , o . dB

fl^e m' «a (îBo 1 "h , \ da

-T- = , j- -3- tang-!- cosoi — -j-,

-7:= — ; r — j-^ + tang-^ sino -7-,

dt [t. tangij; de "2 ^ dt

-,; — r -^— T — TT- + tang - -^^' + — -^ ) cos(t — 5)

dt /x cos^]; LsinJ dr' °2\ dl à(si J \ ^ '

i m' na J dK^ 1 . , ^,

r cos r-^ sin(T — Q),

2 [i cos 4^ 1 Of]

dQ m' na V i dR»., ^ J /^Ro 1 (?Ro AI . .

sin9 -77 = ■ r -v-y —5-^ +tang- ^^^ -\ ^M s n(T— 0)

^ dt /x cost];|sinJ dx' "^K àl d(^i J] ^ '

1 m' na J (?Ro ,

-\ r cos 5-^ cos (t— 9);

2 fx cos 4' 1 dr\ ^ '

a'R,^o = 2 N'e/'e'/''Yî/cosD,

D — A + f7' + Ârco -t- X:'cj' + mt' ;

dt- V'""" (?/' ' ^^-~V '^^'

<^£' m , „ ^Ri 0 ni , , ,, d/' <^R, . m' ^9'

* =-^^ «'«" ^^ + ^ n'«'cos+'tang!L J^« ^.langl sincp' ^,

<^e' m «'a' (?Ri 0 . 'V ,, i r/a'

<ii fx' lang^j; dm' ° 2 ^ ia' dt

-:^T- = -7; f7 -^-7- + lang-^ sino' ^-,

dt II' tang 4^' de' ° 2 ^ dt

do' m n'a' f i ÔR,., , ^ J fôR,,, ÔR, Al . , .,

+ l-^,cosJ^sin(r'-ô'), 2 /jl' cos 4; 2 dn '

. , rf9' m n'a' f i dR, „ , J /<?R, „ ôR, oM

^'"? rfï- = ? ESi+' LiO T?^ +'""8 i(^ + -;^r)J sin(T'-S')

Z^^,cosiî?^cos(TV6').

2 /ji cost];' 2 c/r] ■^

C'est la forme employée par Le Verrier dans ses théories des anciennes pla-

nètes.

133. Il n'y aura aucune difficulté à former les dérivées partielles de Ro,, et R,,o en partant de leurs développements qui viennent d'être rappelés en tête des formules (G) et (C); il y a lieu cependant de donner quelques explications pour

ce nui concerne —^ et -^-7'-- On trouve immédiatement

, <?Ro,i V ^^ h ih' f rv

la' / — > a -T— e''e"' m-' cosD, da ^^ oa

a'^ ^^ = y la' -^[ - N'] e'^e"^'-nfcosD. \ da' ^^ \ oa' )

Considérons maintenant le développement de a'R, = -r, et faisons

(24) a'R,= 2]^i^''^"'''^^cosD.

Il résulte des formules (40 et (41') ^u "" ^24 que l'on a

où Q et Q' sont indépendants de a et a'. On en tire

« -^ = « ^ H Q -, 5 a' -5—, = a' -jr-j + 2 Q' -v

da da a' oa' oa' a-

La fonction N, étant homogène et de degré zéro, on a

âa' oa

il en résulte

da' da ' ^ a'-

Les formules (28) donnent ensuite

r ^, ^ ^ V f., ^ + Q ^\ e/'e'/"vi/cosD, y da ^^\ da o, J

a'^ ^ ^ y / « ^ N, + Q' ^^ e"e'/''-/î/- cosD. da' ^^\ àa a- )

On est ainsi ramené au calcul de ^— ^

Or on a vu au n° 123 que N, est de la forme

( 26 ) Ni r= V(^') a' AU^ + V'/' a' A'/' + V '/' a' A'/' + . . . ;

V'^', v/', ... sont des coefficients indépendants de a et a'; A^'^' est l'une des fonctions A^^', B^^\ 0J\ D'^' définies au n° 104; on a fait en outre

A(y) — ^"' à'^A^J^ "' i .2. . .n da"-

On en tire

da 1 . 2 . . . ( Ai — I ) da"' i .2. . .n ôa"'^^

(27) a^=:,iAÎ/'+(/i + i)Ai/i,.

Les formules (26) et (27) donnent finalement

JN On voit ainsi que le calcul de -~ se trouve ramené à celui des fonctions A^|' ,

BJ'', . . . , calcul qui sera fait par les formules (T) du n° 115.

134. Nous adoptons les notations très claires employées par Le Verrier dans les tomes II et X des Annales de V Observatoire .

Nous nous occuperons d'abord de la planète P, et nous partirons des formules (C) du n° 132; nous poserons

dSl m' , dRo,,

dt [j. Oh

drÂ> m' „ dUci 1

—T-r-r — 2 • na^ — r-^^j

dt [t. oa

d^ m' nacos4' (?Ro,i

dt [}. e do)

d^A „ m' ()Ro,,

dt^ IX dA

d§ m' , ()Ro 1

-7-= — nacosoi — c-^j

dt jjL ^ de

,,-, , na cos - ,„

aCj ^ I m' 2 aRo.i

ûf^ 2 fjt. cos 4» àf]

1 m' na i (9Ro,i

2 u J , yj c^t' ' cos - cosq^

^,nai^ng- ^^^^

IJL cosd'

âl

Nous ferons de plus

alors les formules (C) du n** 132 nous donneront

ib)

— ^ ~— 2B«a V fNe/'e'/*'y]/sinD,

3B/i2 2fNe''e'/''Yi/sinD,

dX ^, v^ dN , ,,, f

— 7-=— 2B« > a -T— e''e'" yj-' cosD, dt Jmd da

B/icos^'^ A-Ne^-*e'^*'Yî-^sinT),

B/i cos - I 1

dt 2 cosv[i

diD ^ I B/i

dt 2

2/Ne"e'/''r)/-icosD,

cos - cos4>

Bntang-

da d^ d^ d^

dë~~dt' dt^~~dtF

^. , d; 6/.f ^ (D . de

'dt~~di

de^<m dt ~~ dt

dm di

tang-î- cosO; ^^j

2 ^ 2a dt

^:77=:y7 + ^ta"g^sin9;^,

d(]^ di"

. de

sin©-7-

Pour la première approximation par rapport aux masses, d'après ce qui a été dit au n**?!, il faut remplacer, dans les seconds membres des équations (6) et (c), les éléments a, e, ... , a! , e' , ... par des constantes a^, e^, ..., a'^, ë^, ... ; ce seront douze constantes d'intégration, dont les valeurs devront être déterminées ultérieurement par la comparaison de la théorie avec les observations; les constantes /îo et n^ dépendront de a^ et a\ par les relations

2o^ a,^ = f ( I + /n ) = f fx , n'^ d^ = {{x -^ vi')r=z {^ .

On aura ensuite

>^o = «0 ^ + So H- 'î'ô — "^oj ^0 = «0 ^ + e'o ;

Do = (i«oH- i'«'o)^ + i"£o+ ^''£o+ ^^370+ ^'^0— (i 4->'^)To— (/' + A-')t'(,.

En calculant 4^0» ^0» • • •» Vo par les formules (b), on aura à effectuer des quadratures que l'on calculera comme il suit :

/ sinDo

dt =

cosDo

I/Iq + l Hq

cosDo dt z= -. ^

i/io -+- l' n^

//sinD,

dt^— —

sinDo

(mo+ i riQ?

135. Pour abréger l'écriture, nous omettrons les indices zéro, en nous rappelant, bien entendu, la signification de «, e, . . . , a\ e', . . . , qui, dans les seconds membres des équations (Z>) et (c), seront des constantes d'intégration.

Nous poserons

et nous trouverons

2Ba y ^-^ — ■'Ne''e"''nfcos'D,

- 3B y •— — Vrr, Ne^'e'/''Y]/sinD,

Jm^ {l -f- l'v)^

B cos J; y ■ ^\, '^e''-'e"^'nf sinD,

— B COS J; y ^—.7- N e''-' e"''nf cos D,

B cos -

2 cosij;

cos- cosu^

B tang -

y . ", Ne^'e'/''-/)/-! cosi),

cos

-j-^ y l-lL.^Ne/'e'/''Yj/cosD,

On voit que ces valeurs de i^. A, . • • . ^ sont de la forme 41=^AcosD, A=2]ï-sinD,

V = 2UcosD, g=2]TsinD.

On a les expressions analytiques des coefficients A, C, . . . , U qui correspondent à chacun des arguments D, et l'on pourra calculer leurs valeurs numériques quand on connaîtra celles des constantes a, e, ....

On trouvera l'ordre de chacun des coefficients A, C, . . . , en faisant la somme des exposants de e, e' et tq dans ces coefficients; car nous considérons toujours e, é et 7] comme de petites quantités du premier ordre.

Peut-être convient-il de remarquer qu'il résulte de ce qui a été dit au n^ 126 que les expressions ci-dessus de 4^, A, . . ., Vne dépendent en aucune façon, ni de la position du plan fixe des xy^ ni de l'orientation de l'axe des œ dans ce plan.

Nous ferons encore observer que l'on conclut des deux dernières formules (û?),

TT = 2 sin^ -,

iT w 2

de sorte que, sauf le cas de m = o, les divers termes de V seront beaucoup plus petits que les termes correspondants de G. Les équations (c) donneront ensuite

ô,a — f, ôip = A, 81 £ -^ix -\-§ lang ^ 4- tang ^ sin 9 (5, 9, ô, / =ô,p-+-ôie, (/) ; ôje — $ — tang ^ CCS 4>

eô,nT = .f + e lang 5- sin9<5i9,

a,(pr= — gsin(T— 0) + (S + V)cos(t — ô), 1 sin(pô, 9 = +gcos(r-9) + (S4- V)sin(T — 0).

Si l'on remplace dans ces formules les quantités ^, A, .. . , V par leurs valeurs (e), on aura les expressions, analytiques ou numériques, des inégalités périodiques du premier ordre des éléments de la planète P.

Dans le cas où le diviseur i -h i'v qui figure clans les formules (^) est très petit, on a les inégalités à longues périodes dont il a été question au n° 74.

Remarque. — On aurait pu calculer §, p par la formule

elle aurait conduit au même résultat que celui que nous avons tiré de l'équation

d-p m' dRoA

dt^ [M dl

136. Les formules (d) cessent d'être applicables lorsque i et i' sont nuls simultanément, car alors le dénominateur i-h i'v est égal à zéro.

Dans ce cas, il faut remonter aux expressions (b) et les intégrer après y avoir fait i = o, i' = o, et en regardant D comme une constante. Si nous considérons l'ensemble des termes de la fonction a'Ro,, pour lesquels i=zi' = o, termes que l'on appelle séculaires, comme nous l'avons déjà dit au n" 73, nous aurons

D =1 A-w + k'uy' -h ut'.

Pour simplifier l'écriture, nous employons ici les mêmes lettres N, h, h\ /, k, k\ u, que précédemment.

Cela posé, nous tirerons des formules (6),

X = — iRnt V «2 -T— e''e'''''Y)-^cosD, i — Bn^cos'l V /iNe''-ie''''Y)/cosD,

cos -

(7 = -Bni 1

2/Ne/»e'/''Y)/-'cosD,

5 = - \\nl î y u ^e''e''''r\f-^ sinl),

cos - cosu;

tang -

V= Rnt ^ ^(^k)^e''e"^'Tif&\nTt.

Nous aurons ensuite, pour déterminer les variations séculaires du premier ordre des éléments de la planète P, les formules suivantes :

di l =zdi£ = <âs, + Jtang - + tang - sincp^iô,

eôjCT = r? + e tang -'- sin9 ôjô,

ôi9 =— g sin(T— Ô)+ (S + V)cos(t — Ô), siiKp (5i 0 =r + (/cos(T — Ô) + (S+ V) sin(T— 0).

On retrouve le résultat du n" 73 : dans la première approximation, le grand axe n'a pas d'inégalités séculaires, tandis que les cinq autres éléments s, e, w, ç, ô en sont affectés.

Il sera facile de calculer par les formules (g) et (A) les variations annuelles de ces cinq éléments; il suffira, en effet, de faire ^ = i, en supposant que n et n' soient exprimés en prenant l'année julienne de 365J, i5 pour unité de temps. On trouvera ces valeurs numériques pour les anciennes planètes dans le tome ÎI des Annales de V Observatoire de Paris , p. loo et 102. Il faut, bien entendu, faire la somme des valeurs obtenues en combinant la planète P, d'abord avec P', puis avec P",

Si l'on fait, pour chacun des éléments, la somme des inégalités périodiques et séculaires données par les formules (/) et (A), on aura l'ensemble des inégalités du premier ordre.