NG, 0 = ^N
Les formules (2) donneront donc
(i) ôi$=:S + V, sinJ(5i0=g.
Ces équations offrent une représentation physique intéressante des quantités G + V et (j .
Les formules (2), entendues dans leur ancienne généralité, pourront s'écrire
0,9 =:cos(- — 6)ài^ — sin(T — 0)sinJôi0, sin9Ôi 6 = sin (- - 9) ôi$ ^ cos (t — 9) sinJ ôi0.
Si l'on a égard aux expressions (d) de Cj\ e et V et que l'on pose
B cos - ^
« -+- 2(i H- A-) sm^-
cos- cos u; 2 ^
on pourra écrire les formules (i) comme il suit :
{k) ô,$ = 2]KcosD, sinJôi0 = ^HsinD.
34o CHAPITRE XX.
En portant ces valeurs dans (y), il vient
sine
2 Si^cos(D + r-.8) - 2 '^^cosfD -T+ 9), 2^sin(D + r-9) + 2-i^^'"<»-^ + ^)-
On obtiendra ainsi les diverses inégalités périodiques du premier ordre de cp et deO.
On sait qu'à un argument donné D, dans lequel le coefficient de t' est u, correspondent les valeurs — u, — w + 2, — m + 4, . • • de/; si l'on peut négliger
sin^- devant l'unité, il sera permis de faire /= — u\ les formules (3) donneront /^N
2 cos4> i -\- i -r^
les expressions (/) se simplifient et deviennent
(/j) ôiçp = 2] Hcos(D4-T— 0), sin9âi9 = ^ Hsin(D+T— 9);
les formules {k) deviennent, dans la même hypothèse,
(Ati) (5,0 = ^HcosD, sinJôi0=z^HsinD.
On voit qu'on passe de {k^ ) à (/, ) en remplaçant simplement D par D + i — 6.
Si les formules (/, ) et {k^ ) ne sont pas entièrement rigoureuses, elles donnent du moins, sous une forme très simple, les parties les plus importantes de S, 9 et^^ô.
Dans ses théories des diverses planètes. Le Verrier calcule les inégalités périodiques du premier ordre de cp et 0 par les formules {k) et (/).
Faisons les mêmes modifications pour la planète P'.
Soient $' et 0' l'inclinaison et la longitude du nœud ascendant de l'orbite de P' par rapport à la position qu'occupe à l'époque /q le plan de l'orbite de P.
On trouvera
(«') Ô.$' = 5'+V', sinJôi0' = g';
en portant ces expressions dans les formules
(5,9'= g'sin(T'-50 — (S'+V')cos(t'— 0'), sin9'8, ô'=-g'cos(T'— 5') — (S'+ V) sin(r'— B'),
PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES ÉLÉMEiNTS. 34 1
on aura
0,9' =— cos(t'— 0') ôj<I»'+ sin (t'— B') sinJÔ,e', sin^'ô, Ô'=:-siii(T'-(5')ô,0'— cos(T'-ô')sinJôi0'.
On pourra poser
{k') <5, 0' = 2] K' cosD, sin J<5,0' = ^^ "' sinD ;
on en déduira
\ Oi9'=— ^ — ^ cos(D+t'— ô')+^ cos(D — r'-t-Ô').
139. Il nous faut donner encore les formules qui permettent de calculer les perturbations du premier ordre de ^z' et y], quantités qui figurent explicitement dans les développements des fonctions perturbatrices; la connaissance de ces perturbations est très utile pour le calcul des inégalités du second ordre.
La première des formules (12) du n** 130 donne d'abord
^ =, cos(T - 0) ^ + sin (t - 9)sin9 ^ - cos(t'- b') ^' - sin(T'- ô') sinv' ^;
en remplaçant ^ et ^ d'une part, -^ et -^ d'autre part par leurs valeurs (c) et (f/), on trouve aisément
^ ' dt~\dt ^ dt)'^\dt '^'dt
On peut ensuite mettre la- troisième des formules (12) du n« 130 sous cette forme
dV do'
(5) { — cos(t'— 6')sin9'-^ — (i — cosJ) sin(T'— Ô') -^
dB' + [sin9'cos(T'— 6') — sino cos(r— ô) H- sinJ] -^'
Les quatre premiers termes du second membre se réduisent à -^^ + -^ quand on y remplace, comme plus haut, -—j -7-5 -—^ -7- par leurs valeurs (c)
et (c'). Il y a lieu de transformer le coefficient de -^r- en y mettant pour
cos(': — 0) et cos(t'— 0') leurs expressions tirées des relations
cos9'== coscp cosJ + sin© sin J cos(t — B), coscp := coscp'cosJ — sin cp' siii J cos ( r'— B').
On trouve ainsi
sm
, , , c/x • / ûx • T sin^J — (i — cosJ) (coso 4- coso' ) cp' cos(t'— B') — smcpcosfT— B) + sinJ = -— ^ r-^ ■ ^
= lang- ( 2Cos^ C0S9 — C0S9
2 tang - ( sin^ - + sin^ sin^ - )>
et la formule (5) donne finalement
. dz' dq dq' . - J . , , .,, t/9'
sinJ ^- = -f^ H — Y 2sm2 - sinfr'— 6') -^
dt dt dt 2 dt
2 tang -, , , ,,
' sin- -^'4- sin^ -i sm^- smcp'
sin 9' \ 2 2 i) ^ dt
Les deux derniers termes du second membre de cette équation seront très petits; car les coefficients de -^ et siufp'-^ sont du second ordre par rapport
aux inclinaisons.
En intégrant les équations (4) et (6) multipliées par dt, on obtient les expressions suivantes pour les perturbations du premier ordre de J et de t' :
sinJ(5iT'=CJ-f-(,"— 2sin2 - ^m{r — B')h^o'
2 tang -
-\ : — r-( sin^ - 4- sin'^ sin^ - ) sin 9' ô. 9';
sm9' \ 2 2 2/ ^
d'où, à cause de y] = sin ->
J (s + V) + (ro' + v')
ijYÎ =z COS
(„,) |v)ô.r'=-4[^^^-sin^^sin(r'-ô')ô,9'
+ lang - ( sin^ ^ + sin^ ^ — sin^ -\^, ÔM
COS -
PERTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES ÉLÉMENTS. v343
Le plus souvent, ces formules pourront être réduites à
OU encore a
rioàiz
I y)^aiT'= i [sinja,0 + sinjai0'],
formules dans lesquelles on devra remplacer <5,(î>, sinJ<5,0, Si$', sin J(5,0' par leurs expressions (k) et (k'), si l'on veut avoir les inégalités périodiques de y] et de t'.
On pourra obtenir aussi les inégalités séculaires du premier ordre de y] et t', en remplaçant dans les formules (m), g, e, V, (/', g', V par leurs expressions (g) et (g'), et §, ©', Si 0' par les valeurs (h'); on voit ainsi que les quantités 7] et ^' sont affectées d'inégalités séculaires.
140. Nous avons dit déjà au n** 63 que, quand les inclinaisons ç et 9' des orbites sont très petites, il est souvent avantageux d'introduire, au lieu des quatre quantités ç, 0, 0', G', quatre nouvelles variables p, q, p\ q' définies par les relations
/? = tangcp sin9, «7 = tangcp cos9,
p'=:tSing(ij)'sinS', 7'= tang9'cos0';
on y trouve cet avantage que les variations der^oT^,/?', q' sont toujours petites; il n'en serait pas de même de la variationj^6 si cp était très petit; de plus, l'introduction des variables/? et q facilite le calcul des perturbations de la latitude liéliocentrique.
En différentiant la première des formules (7) et remplaçant 3^ et -^ par
leur§ expressions, on trouve successivement
dp ^ dO sin9 do cos9 . dO sin9 do ^ 1 . ^do
-j- = tai)g9 COS& -y- H r ± = sino -7- h -± h tangcp sm9 -^
dt °^ dt cos^9 dt COS9 ^ dt COS9 dt coso ^ dt
cos5 coso
COSCJ
coso flf^
C'est ainsi qu'on obtient les formules suivantes :
dp dQ . fd^ dV \
cos©
dt
cosr^+smr(^^-i-^j+/.langî^^
dq . dQ (d^
cos© -V- = — sinr -f^ h-cost i -^ + ^ dt dl
<iS dS\
<p <T?cp
cosco
dt
