COS9' «- T T V
sinJ . , , -99' tang9 . ,^ û,, ^^ : sinT =:/? — /> -H 2sin2 ^ ^ sin(0 — B') cos9',
COS9COS9' r /- 2 COS9'
en remplaçant, dans le coefficient de -^M|, sinO par
sin9'cos(9-9') + cos9'sin(9— 9').
C'est ainsi, et par des calculs analogues, que l'on arrive aux formules cidessous :
ou
sinJ
COS9 COS9 sinJ
7 sinr = /? — »' + 2sin2Î ^"^^ sin(9— 9')cos0,
2 COS
-J COST =7 - 7' - 2sin2 2 ^^^^ sin(9- 0')sin0;
COS9COS9' -7 ï 2 COS9
: smT' = p — />'+ 2Sin2-i ^ sm(9 — Ô') cos &',
COS9COS9' r r 2 COS9'
sinJ
cosr
cos 9 cos 9 D'autre part, la formule
::= ^ . ^' 2 sin^ î^ ^^^ s)n(9 - ô') sin 9'.
2 cos
cosJ = COS9 COS9' + sin9 sin9' cos(9 — Q')
PERTURfiATIONS DU PREMIER ORDRE DES ÉLÉMENTS. 345
donne
COSJ = COS9 COScp'(l -+-/>/>' -i- </^');
or d'où
cos''(p cos''9
il en résulte successivement
cosM = (j+/>y-t-g-70^
(.0) .,r.rr.j-(p-py-^i9-g'r-^{pq'~qpy
{l-^pp' + qq'f
Les formules (9), (9') et (10) sont rigoureuses et déterminent avec précision les quantités J, t et t', en fonction des auxiliaires/?, q, p\ q .
En négligeant les cubes des inclinaisons, les relations (9') donnent
sinJ sinr' =:/)—/?', sinJ cost' = ^ — q' .
(Il)
D'autre part, la formule approchée
T — t'= - tangcplang<p'sin(6— ô'), démontrée au n° 117, donne, en exprimant t — t' en secondes,
(12) ^-.' — PsLzi'ipL.
sin 1"
On tirera des équations (8) les formules suivantes pour calculer les perturbations du premier ordre des quantités/?, ^, /?', q' :
l COS9 <5i/? =r i^ cosT + (G + V) sinr 4- /? lang ^ a, 9, (•3)
/ COS9 ô;7 ——^ sinr + (5 + V)cost -h q tang ? ^19;
icos9'ô,/>' = — (J'cost'— (5'+ V) sinT'4- />' tang ^ ^,9', • C0S9' a, ^' =r + g'sinr' — (S' 4- V')cost' + q' lang ^ ô, 9'. T - 1. ^ /:/.
On peut écrire encore, à cause des relations (/) et (/'),
l C0S9 èip — sin-r <5,<ï> 4- cost sinJoj© -h p tang - (5,9,
COS9 (5j (j =. COST (5i$ — sinr sinJ (5i0 + q tang - ôjtp; ( coscf' èip' = — sinz' èi*^' — cost' sinJô,0' + /?' tang ^ Ô19',
cos9'(5i^'=: — cost'(5i<5'+ sinT'sinJ(5i0'4-^'tang -^ 15,9'.
Ces formules permettent de calculer les inégalités périodiques du premier ordre de p,q, p' y q', et aussi leurs inégalités séculaires, ou plutôt leurs variations annuelles.
En tenant compte des relations {k) et (^'), on peut mettre les formules (o) et (o') sous cette forme :
(Oi)
COS9 èip =: \ sin(D + t) + 21 ' sin(D — r) +/; tang - Ô19,
COS9 àiç = \^ cos(D + t) — ^ cos(D — t) -\- q tang -^ Ô19;
cos9'ôi/?'=:— > — sin(D + T ) — > sin(I) — t ) +/>'tang ^ Ô19',
cos9'ôig'' = — > ■ cos(D + r ) + X ■ cos(D — t ) + ^'tang -^ dio' .
Les derniers termes des seconds membres de ces équations, ceux qui contiennent S, 9 etS, cp', seront le plus souvent négligeables; on en tiendra compte, s'il y a lieu, en ayant égard aux relations (/) et (/').
Il nous reste enfin à calculer les inégalités du premier ordre de t;'— t; elles nous seront nécessaires pour calculer celles de X et w par les formules
)i t= / 4- t' — T, w = ro + t' — T,
en partant des inégalités de /et tir, lesquelles ont été considérées déjà; or on tire de la formule (12)
(/>) Mz'-T)='-{p'd,q~-q'è,p-pè,q'-^qd,p');
donc, en tenant compte des formules (o,) et (o'J, on aura les perturbations cherchées, lesquelles sont d'ailleurs très petites et négligeables dans un grand nombre de cas.
La différence t' — t sera affectée d'une petite inégalité séculaire du premier ordre.
141. Les trois termes de l'expression {h) de§,/=S, £ contiennent ^ en facteur; soit (T/la somme de ces trois termes; on voit que l'expression de/, fournie parla première approximation, sera de la forme
(i4) «^ + e + (7^ + les perturbations périodiques;
<jI représente les inégalités séculaires du premier ordre de l'élément £. Le coefficient de i dans cette formule (i4) est égal à /î,, en posant
ni=r: rt + a;
c'est lui que l'on obtiendra directement quand on comparera deux valeurs de la longitude moyenne déduites des observations faites à deux époques séparées par un intervalle de temps considérable, il est naturel de déterminer une quantité a^ par la relation
on a déjà
et l'on en conclut
d'où, en négligeant a-, qui est de l'ordre de m'% (.6) « = a,(,+ |i-).
On pourra écrire ainsi l'expression (i4)
«1 ^ + e + les perturbations périodiques;
on calculera «, , puis a par les relations (i 5) et (i6) ; partout où a figurait directement, on devra donc mettre sa valeur (i6). Sous les signes sinus et cosinus, ce qui entre jusqu'ici dans nos formules, c'est nl — (n^ — (y)t; on devrait donc faire cette substitution si l'on tenait à ordonner rigoureusement suivant les puissances des masses perturbatrices. Mais, dans l'approximation suivante, il faudrait remplacer / par n,/ 4- s +... , c'est-à-dire arriver finalement à mettre n^ au lieu de n; il vaut donc mieux le faire dès la première approximation.
Quand n figure en dehors des signes sinus et cosinus, il n'est là que pour
abréger l'écriture et représente l'expression i/-^^ — r~~^^ c'est ce qui arrive, par
exemple, pour le coefficient — na^ qui entre dans la première des formules {a).
On ne doit pas y remplacer n par /i<, mais écrire
toutefois, pour la première approximation, on pourra ne pas tenir compte du terme en a de l'expression précédente, car cela reviendrait à introduire immédiatement un terme de l'ordre du carré des masses; on voit donc que, dans la
première approximation, on pourra prendre ^ — na- = — n^a'^, ce qui revient à
remplacer partout net a respectivement par /i, et «, ; mais, dans les approximations suivantes, il faudra procéder comme nous l'avons indiqué (^ ).
Donnons quelques indications sur le calcul de a, par la formule (i5); nous appliquerons cette formule au mouvement de la Terre autour du Soleil en mettant deux accents aux lettres; nous aurons ainsi
En éliminant feutre (i5) et (17), il vient
l'unité de longueur étant arbitraire, nous la choisirons de manière que a] = i, ce qui nous donnera
La formule (17) montre que l'unité de longueur se trouve être actuellement le demi grand axe de l'orbite d'une planète fictive qui ne serait soumise qu'à l'action du Soleil, et serait animée d'un moyen mouvement égal au moyen mouve-
(' ) Pour ne pas multiplier à l'excès les notations, nous laisserons /i et a là où nous devrions mettre «1 et rt).
ment apparent de la Terre. On a, par les observations, pour le moyen mouvement de la Terre, en une année julienne de 365^,25, «'^ — i 295977",38. Le
Verrier adopte m!' = ô-^t—' fit il a trouvé, par la théorie du mouvement de la
Terre, a"— h- 2", 507. Les formules ci-dessus deviennent ainsi
le nombre mis entre parenthèses dans la première de ces formules désigne un logarithme.
Remarque. — Le changement de n en n^ permet de tenir compte, avec la même forme analytique, des inégalités séculaires du premier ordre de l'élément £.
Nota. — Outre le lome X des Annales de l'Observatoire de Paris, on pourra consulter avec fruit, pour l'application des formules de ce Chapitre, un travail de M. Perrotin sur les perturbations de Vesta {Annales de l'Observatoire de Toulouse, t. I).
35o CHAPITRE XXI.
. Quand on connaît les perturbations des éléments de l'orbite d'une planète P, il est facile d'en déduire les perturbatibns des coordonnées héliocentriqiies. Nous ne nous occuperons ici que des perturbations du premier ordre par rapport aux masses.
142. Perturbations de la longitude héliocentrique. — Considérons d'abord la longitude dans l'orbite, v. L'anomalie moyenne est égale à
/ — 5Î = X ^ — Cl),
et l'on a, en se reportant à l'expression de l'équation du centre, y, donnée au n» 93,
y = Ci sin(>. — o)) -h C2sin2(X— w) +. . .=: CiSin(/ — cr) -+- C2sin2 (/ — gt) -+-. . . ,
avec ces valeurs de C<, Cj,
On voit que la valeur de v dépend des trois quantités /, e et ct. Il n'y a qu'à remplacer ces quantités par leurs valeurs en tenant compte des perturbations
l'EPxTURBATIONS DU PREMIER ORDRE DES COORDONNÉES. 35 1
du premier ordre déterminées dans le Chapitre précédent, savoir
/ -f- (5, /, e-hdie, m-hôiGT.
On trouvera par la formule de Taylor, en négligeant les carrés et les produits de S, /, S^ e, S, Gî que nous laissons actuellement de côté comme contenant m'- en facteur,
âiP = ôi^H- Cl COS(A — &L>)ôi/-|- 2C2 C0S2 (X — 0)) di/4-. . .
dC C
+ —~ sin (X— ûj) (5, e — cos(X — co) eô,GT,
J + -T— sm2(À — &)j à,e cos2(â — w) eô, GT,
On tirera d'ailleurs les valeurs de-—, -j-, ■ • des fbrmules(2), savoi
de
de
UJ
ftt I3&
Les formules (y) et (A) du n°435 donnent les expressions de §,/, S<e et eâjCT. Si nous considérons spécialement dans ces expressions, ce qui concerne un même argument,
D = il + i't+k(^ -r k'm'^ iix\ et si nous posons d'une manière générale
(0) ' ^' (5,e-2!'^'^cosD,
[ / — e ôi CT = y cDb sin D,
la formule (3) nous donnera
ôi(^ = 01/+ V [2 ^siiiD cosy (A — oj) + DU cosD siny(X — w) — DX) sinDcosy (X — w)] ou bien
On peut faire une remarque utile : Cy contient des termes en e^ , e^^-, eJ^\ ... ; e étant supposé petit, le premier de ces termes sera de beaucoup le plus important, et l'on aura à peu près
^"' de ' e
D'autre part, en se reportant aux formules {d) et (/) du n" 135, on voit que les parties principales de S,e et e§,cî ont pour expressions
Ô,e = a^rr:-.B V -r- ^-., N 6^'-' c'^^' t/ COSD, Ji^ l-\- l'-'J
eà,m = ^^ B y ■ '\, ^e''-'e"^'nfi\n\). Si on les rapproche des formules (5), on trouve
fie ■ le
de i + i -J ■^ c t H- ï '<v
En tenant compte de l'équation approchée (7), il vient
DZ, h
Or les valeurs de h sont égales à \k\ ou | ^ | + 2, ... ; les termes les plus importants correspondront k h = \k\, ce qui donne
dl>=±z DYi.
Donc, dans l'expression (6), l'une ou l'autre des quantités OlL + dZ et D\L — DX, sera voisine de zéro, et il en résultera une simplification notable.
On calculera de même les perturbations de la longitude qui répondent aux inégalités séculaires de e et rs. Toutefois, il convient de dire que les astronomes ont l'habitude de ne pas faire figurer les inégalités séculaires de gï dans le calcul de §,^; cela tient à ce qu'ils calculent l'équation du centre par les formules du mouvement elliptique
(8) y = 2esinÇ -h -re^sin 2? + .. .,
Ç = / — GT,
mais, en y introduisant la valeur de w affectée de ses inégalités séculaires. Ils emploient généralement aussi dans ce calcul la longitude moyenne nt -h i du
mouvement elliptique augmentée de ses inégalités à longues périodes. L'expression ( 8) de y est convertie en Table d'argument ^ ; c'est cet argument sur lequel on fait porter et les inégalités séculaires de cr et les inégalités à longues périodes de /.
On voit donc que, dans la formule (3), §, cr doit représenter l'ensemble des inégalités périodiques décret §,/ l'ensemble des inégalités du premier ordre de /, en omettant celles qui ont de longues périodes. On a vu, à la fin du Chapitre précédent, que / peut être considéré comme n'ayant pas d'inégalités séculaires du premier ordre; la variation séculaire de l'équation du centre ne proviendra donc que de la variation séculaire de l'excentricité. On la calcule comme il suit :
On a
les formules
donnent
ày d{w — K) div
de de de '
I / 1 -1- e I tang-..==y/-3-lang-..,
Il — e sin « = Ç
du d^
sinu . i + ecosMP-
I — e cos u I — e^
ÔiV
sin«' sinu
du sin«p . i + ecostv smw
de
de i — e^ 1 — e^ i — e^
— sm(p — m) ■ ^ aie.
On aura donc
Si l'on attribue à o, e sa variation séculaire, on aura pour 5, y une expression de la forme at; a est une fonction de s^ ou de t; on donnera sa valeur dans la Table même dont on a parlé ci-dessus, à côté de la valeur de l'équation du centre qui résulte de la formule (8).
Quand on aura obtenu le^ diverses inégalités périodiques de c^, on y remettra l -h ':' — T et Gî -h t' — T au lieu de X et o). On réduira ensuite en un seul tous les termes dépendant d'un même arc gt -h (3, et l'on construira, une fois pour toutes, une Table numérique avec t pour argument, donnant la valeur de l'inégalité en question.
On passera de la longitude ^ dans l'orbite à la longitude héliocentrique i^, par les formules (/) du n° 33,
lang^- tang* -
p-= ; — rr sin2((^— 0)+ —. — ^- sin4(<' — 9)—...,
'^ sim" ^ ' sin2" ^ ^
i>i — ç-hp; T. - l. 45
les inégalités de p seront généralement insensibles, et on les atténuera en remplaçant ç^ par sa valeur perturbée; il y aura lieu toutefois de tenir compte de la variation séculaire de p provenant de celles de 9 et 0.
143. Perturbations du rayon vecteur. — On a, en se reportant à la valeur de X donnée au n° 93,
(9) /• = a + ax = rtAo4- «Al cos(/-- îît) -r «A, cos2(/ — gî) +. . .,
avec ces valeurs des coefficients.
An = I + 2
A.^--MfW3(f
0 e 6 Va
On tirera de là les dérivées
dAo <^Ai dk^ de de de
après quoi, si l'on remplace dans la formule (9) a, e, / et trr par «+ ^^a, e + ^, e, / + S< /, cr -h S, tir, on aura, en négligeant les carrés des masses perturbatrices, l'expression suivante de l^r,
ôir = Aoôia + AiCOs(A— m) ôja h- A2 cos2 (X — w) à\a + . . . — aki sin(}i — w) ^^1— ^ak^ sin2(> — oj)ôi/ — . . .
^ô.e + acos(X-(o)^^aie + acoS2(A-a))^^^ô,e+...
de
H sm(>. — w) eôiCTH sin2(/ — wjeôiCT + . . . .
Considérons les termes qui contiennent un même argument D, et posons
- Ay ôi a = ^ H cosD, - jakjà^l — - y K sinD,
PERTURBATIONS Dr PREMIER ORDRE DES CGOUDONNÉKS. 35^
en portant dans (i i), il viendra
^''' "" 2 [ (h + K ^^ —^-5) cos(D -hy/. -,/G))
+ (H-K+Ç^)cos(D-yX-i-ya))J.
On verra, comme pour §, v, que l'une ou l'autre des quantités P h- Q et P — Q sera généralement très petite.
On construira une Table numérique donnant la valeur de
(i4) - — - Aq + Al cosC + A2COS2Ç +. . . .
Dans chaque calcul de r, à l'aide de la Table, on déterminera la valeur de l'argument ^ = / — rar, en affectant cr de ses inégalités séculaires, et / de ses inégalités à longues périodes. Ces inégalités de gt et / devront, bien entendu, être omises dans les formules (12). La variation séculaire de r proviendra uniquement de celle de e; on la calculera comme il suit :
dr .du e — cos u
-T- = — a cos u + ae sm m -r— r= a =: — a cos w,
de de 1 — e cos u
èir=z — a cos{v — uy) die.
Si l'on attribue à 04 e sa variation séculaire, on aura §,r= yt, y étant une fonction de ço\i bien det; on inscrira la valeur de y dans la Table qui représente l'expression (i4). à côté de la valeur de -• On réduira finalement en un
seul tous les termes périodiques de §, r dépendant d'un même argument gt + p, et l'on construira, une fois pour toutes, un nombre de Tables numériques égal à celui des arguments gt 4- [3.
Remarque importante. — Les perturbations du premier ordre de la longitude et du rayon vecteur, calculées comme on vient de l'expliquer, contiendront des termes dépendant de l'anomalie moyenne^. Nous représenterons ces termes par Ssin'C-l- Tcos'C pour la longitude, et par S<sin'C -i- T,cosC pour le rayon vecteur. Dans le mouvement elliptique, la longitude contient le terme C,sin'C, et, de même, le rayon vecteur renferme le terme a A, cosT; on pourra donc écrire, en ne considérant dans v et r que les termes en sin^ et cosT,
(i5) t^ = . . . + (Cl -+- S) sin(/— !!»j) -f-Tcos(/— cj) +. . . ,
(iG) /■ = ... Sisiii(/ — Gj) i- («AiH- Ti) cos(/ — nj) H-. . . .
On a, d'ailleurs,
Cela posé, concevons que l'on remplace les constantes e et cr par e 4-Ae et m 4- Aîrr, les petites corrections Ae et Act étant de l'ordre des masses perturbatrices m', m", . . . ; en faisant cette substitution dans les formules (i5) et(i6), on pourra laisser invariables S, T, S, et T, (les variations de ces quantités donneraient des termes de l'ordre de m"^); on pourra de même négliger les produits tels que SAe, SAgt, . . . , et l'on prendra simplement
dCi d'Aï
de ' de
On trouvera ainsi
(17) (' — . . . -h- (Cl + S 4- aAe) sin(/— ro) + (T— 2 e Act) cos(/— 5t) 4- . .
(18) r=...(Si— ac Agt) sin(/ — ct) + (aAi-h t, — « Ae) cos(/— rn) -\- . .
Or on peut disposer des indéterminées Ae et Avs de manière à avoir
S 4- 2 Ae -- o, T — 2 e Agt — o ;
d'où
Ae — S , e Am r= h — T,
et les formules (17) et (18) deviendront
(19) (^zr:. . .4- C, sinÇ-t-. . .,
(■>.o) /• = (a Al + TiH- - aS j cosÇ+ (Si aT j sinC + . . . .
On voit que, grâce à l'artifice employé, la longitude r ne contient pas de terme en cos(^, et qu'en outre le coefficient C, de sin'C est le même que dans le mouvement elliptique. Mais l'expression du rayon vecteur contient un terme en sin'C, et un autre en cos^; le coefficient de ce dernier n'est plus le même que dans le mouvement elliptique. Il faudrait encore remplacer e et cr respectivement
par e Setcrn dans les autres termes de v et r, qui dépendent de 2.1,
3^. ... ; mais ces termes contiennent e^, e% . . . , et la modification qu'il y aurait lieu de leur apporter serait insensible. Enfin il n'y a pas lieu de faire la substitution en question dans les perturbations du premier ordre de r et ç, car cela
reviendrait à tenir compte des carrés des masses perturbatrices. On se bornera donc à prendre dans v le même coefficient de sin^ que dans le mouvement elliptique, et l'on calculera, comme on vient de le dire, les coefficients de sinC et cos(^dans r; e et cr resteront des constantes dont la valeur sera fournie par les observations. Ainsi se trouve fixée d'une manière précise la signification des quantités e etrs qui n'étaient jusqu'ici que des constantes d'intégration, et dont les valeurs pouvaient dépendre des procédés de calcul employés.
144. Perturbations de la latitude héliocentrique. — La latitude liéliocentrique s est donnée par la formule
(21) sin5=: sin9 sin((' — 6),
ou bien, en introduisant les quantités/^ = tangcpsinô, q = tang^cosO,
{22) sin5=: COS9 (^ sinp — pcosv).
Nous supposerons, conformément à l'usage généralement adopté, que la longitude ^soitaffectée de ses perturbations, quand on l'emploie dans la formule (21) au calcul de la latitude; les perturbations de s ne dépendront, d'après (22), que des perturbations de/?, q et ç, et l'on aura
ces o
Si l'on a recours aux expressions de S,/? et S,^, formules (o,) du n*" 140, il vient
1 S -- > • sm ( (' — D — t)
sin,îâ,cp I — tangjrtangcpôicp
cos
- \^2 — ^— sin(P + D- T) - tang.lang | ô\<p.
Le dernier terme de cette formule sera presque toujours insensible, et, dans
les deux premiers, on pourra le plus souvent réduire à l'unité le facteur ---•
cos 5
Il restera à mettre dans le second membre de la formule (23) pour {^ sa va-
