CHAPITRE XXI. PERTURUATIONS DU PREMIER ORDRE, ETC

leur elliptique /+ 2esin(/— gt) +..., et, le plus souvent, il suffira de remplacer V par /; les inégalités périodiques de la latitude se trouveront donc aussi dépendre d'arguments de la forme gt-^^ et seront aisément réduites en Tables.

La valeur elliptique de .y fournie par la formule (21) sera également convertie en une Table dans laquelle on entrera avec l'argument v — ^, v étant affecté de ses perturbations, comme on l'a dit plus haut.

On trouverait pareillement, pour la planète P',

\ COSy -^ 2

/ 4-^ > sm(r' -h JX — t') — tangs' tang — Oi9'.

145. Les perturbations périodiques des coordonnées, qui sont du premier ordre relativement aux masses, déterminées par les formules du Chapitre précédent, se trouveront développées suivant les puissances des petites quantités e, e' et Y].

Nous allons chercher les expressions analytiques des premiers termes de ces développements, en ne conservant que les parties qui contiennent linéairement e, é et Tj. Les formules auxquelles nous arriverons ont joué, à plusieurs reprises, un rôle important dans la Science, notamment à l'occasion de la découverte de Neptune.

Pour obtenir, dans les perturbations des coordonnées, les termes du premier ordre par rapport à e, 6' et y], on doit conserver les termes du second ordre dans le développement de la fonction perturbatrice. Soit toujours R, l'inverse de la distance mutuelle des deux planètes P et P'; la formule (37) du n" 123 donne précisément le développement de R, avec les termes des ordres o, i et 2. Cette formule peut être condensée ainsi :

+ ^ (e- 4- e'-^) 2 N<'' cos/(^'- >0 + ^ ^^' 2 ^^'^ COS[i-(/' - \) + co-gt'] \ -'-n'^^^'-'^^^Q^iKy -k)-^ ^r;2 2B('-')cos[i-(/'-X) +-2X-2T'];

l'indice i varie de — oc à -4- 00; p et fl' ont les valeurs o, i ou 2; M^''^,, N''^ et P^'^

ont les expressions suivantes

MV'.'o = - 2 fA(') - a

âa

(jAt'-')

da^

MV')i •— — («■ — i)(2f- i)A(''-i' — (2f — t) a

da

2 oa^

""'4 2 da 4 <^a-

I ^ a^A^' 4"" da''

da

2 au'

la signification de A^'^ et de B^'~'^ est la même que dans les formules (r5) du n^ 119; on voit que W^\ et N''^ restent les mêmes quand on change / en — i.

On pourra remarquer que, pour obtenir la formule (i), on a remplacé « par « — r, ou par i — 2, dans certains termes de la formule (37) du n'^ 123, et A"' et A2' respectivement par

a — r — et - a^ , •

da 2 da'

Soit Ro,i la fonction perturbatrice qui correspond à la planète P; d'après ce qui a été dit au n** 124, le développement de R^,, se déduira de celui de R,, en

remplaçant A^'^ et A^-^' par A^^' - ^2' et B'") par B «^ - ^•

Il suffira de faire ce changement tout à fait à la fin, dans les expressions des perturbations des coordonnées.

146. Nous allons appliquer les formules du Chapitre XX aux divers termes du développement (i). Les expressions (r/) du n" 135 pour Q, {? et V contiennent le facteur y], comme on s'en assure aisément; d'après les formules (/) du même numéro, il en sera de même pour S, ç et sintpS, G. Si l'on néglige le second ordre, ces formules (/) deviendront

e(3iC7 =: cf.

Les formules (^ du n*^ 135 combinées avec l'expression (i) de R, donneront, au degré de précision cherché,

e y - N('^ sinf(/'— X) e' > - P^') sin[i(/' — X) 4-w — gt'I,

/X 1 —V .^d l 2 jJL I — V .^d l ■- ^ ' -"

H e' > V PC) C0S[i(/'— X)-hco — Gj'l.

2 p. 1 — • V Jéad l L \ / j

On a posé dans ces formules

On a maintenant, d'après la formule (i i) du n*' 143,

— = ecos(A — (o) h esin(/— co) (o, p 4-0, s) -\- eo^e

— [cos(A — w) (5,e -h sin(X — co) e ôj gt] — e [cos (2 A — 20) âje -1- sin(2A — 2&))(?ô(Cj]

ou bien, en tenant compte des relations (3),

.^N i-'^ = ^~[^'cos(>i-a))+#sin(X-co)]-. e:^cos(X-w)

( H-e(A + ^lo)sin(X — co) + e^X* — e[9?cos(2A — 2&)) + #sin (2X — 2w)].

On aura ensuite, d'après la formule (3) du n*^ 142, l'expression suivante, pour la perturbation de la longitude,

^i<' =<5jP + âi£ + 2ecos(X — co)(â,p + ôi£) -+- 2[sin(X — w) âjC — cos Çk — a))eôiCT]

H — e[sin(2A — 2co) ôje — cos (2 A — 2&)) eôicr] T. - I. 46

OU bien, en tenant compte des formules (3),

I .<' 5i(^ = A-]-eil>4-2[fJE'sin(>L — (o) — d^cos(>L — «)] — -<? — sin(À— w)

-h 2e(A + al.) cos(X — w) H — e^H — e[^rsin(2>> — 2co) — -f cos(2>i— 2 w)].

147. Il n'y a plus qu'à remplacer, dans les formules (5) et (5'), 4^, A, x, ê, ^ par leurs expressions (4). On donnera à [3 et (3' les valeurs o, 1,2, en ne retenant que les termes du premier ordre; on aura à effectuer des transformations très simples par des relations telles que

cos(X - w) 2 Q^'' ces/ (/'- X) = - 2 [Q^'' + Q(-')] cos[i(^'- À) + A -(.)], sin Çk - 03) 2 Q"'^ sini-(/'- >^) = - ; 2 ^^^'^ ~ Q'-'^J cos[/(/'- /.) + A - c],

qui se simplifieront encore si l'on a Q^'^ = Q''^ ou Qt-" = — Q('\ Dans le calcul des quantités

y?cos(X — 0)) M- #sin(X— w), ^I'sin{A — «) — .?cos(X — 0)),

les deux termes multipliés par Mpjp. se réduiront en un seul ayant pour argument

f(^'-X)4-((3-i)(>, — co) + [3'(X-gt');

les deux termes multipliés par P''^ se réduiront aussi à un seul argument

il y aura des réductions analogues pour les quantités

^I'cos(2>i— 2 0)) +.f sin(2A — 2co), 9:''sin(2>i — 2co) — rfcos(2>i — aco).

On trouvera ainsi les expressions suivantes dont nous donnons le détail pour guider le lecteur :

7^7, 2 Mi,% COS. •(/'->,)

(6) -+-V^^ 27T=7T7^M'/.'oCos[/(/'->)+X-(,)]

fJ!. 'é'^ 1 — i -\- l^

/Jl. ^^ I — l-\- IV

l ^' „e' y - ' ■ ' . Wl\ ces [«■(/'- A) + X -cj']

Premiers termes des perturbations périodiques. 363

et

jji 1 — y -^J |2(i — v) "'" da \ t ^ '

(6') I -^«, Vf /"-'l MV.+agMa.] '-^sinL^Xf-^j + X-,.]

I \x XJ L2(i — i 4- iv) *'" (?a J I — f -h «y ^ ^ '^ -■

\K ^^ L2(i — i + fy) "'* da J I — f + fy "- ^ ' ^

[^cos(A — w) + .fsin(>.— (o)]

= - - ~ a y 4 ^ M</'o cos i ( V -\)

— ae F-

2 — l -i- IV

- — ae' y I -—î — -PC) H ;^M'/\lcos[/(/'-}.)+>.-cî'],

2 |Jl .^^ [l[l —v) 2 — f + fy '''J L \ / J'

2 [(Psin(>. — (o) — Jcos(>, — &))] ^-- — a y 1 r-M'/'o sin/(^'-^)