INÉGALITÉS DU SECOND ORDRE PAR RAPPORT AUX MASSES

161. Reprenons l'expression nous avons donné dans le n° 134 les formules qui font connaître -j-, -j-> —

^ dt dt

On a, en particulier,

(2) -^ — V iNe''e'''''Tn-^ sin(iX+ i'/'+ ytw 4- /t'GT'+ mt').

On a intégré l'équation (2) en remplaçant dans le second membre «, a' , ... par des constantes, ce qui a donné l'expression de S,a.^

Pour obtenir l'ensemble des perturbations du second ordre de l'élément a, il faut maintenant remplacer, dans le second membre de l'équation (2), a, a , e, ... par leurs valeurs a4- §< a, a' + o,a', e + S,e, . . . , fournies par la première approximation, et développer ce second membre par la formule deTaylor, en négligeant les carrés et les produits des l^. Si Ton écrit, non pas le second membre

lui-même, mais son accroissement, on trouvera ainsi l'expression de —fr-' Les valeurs de ^^ a, o^ a', ... sont de cette forme :

àyaz= ^AcosD, ô,a'= ^ A'cosD,

ôjg — ^,^ + ^EcosD, <5,e' =^>'f ^-^E'cosD,

(3) I ô,X=^i+^LsinD, 0,/'= ^^^'sinD, eày(^:=ct 4-2]PsinD, e'^i^j'^: c'^ + ^ P' sinD,

ôiY) = 1^ + ^ FcosD, f] (5it' =zyt-^^ Q sinl),

OÙ D désigne l'un quelconque des arguments de la première approximation,

Le terme séculaire gt de §, \ provient de t' — t qui ligure dans X = / + t' — t ; il sera le plus souvent insensible. Les coefficients A, A', . . ., Q,, b, b' , ... y^sont connus, et contiennent tous une petite masse planétaire en facteur dans leurs diverses parties.

En opérant comme on l'a indiqué plus haut, on trouvera

dt

[i a' ^ La \2 da J a' \ da J

+ N(^±iL±;'L'+-E + ^'E' + =^F±:-P±^'p'±"Q'\l \ e e n e e' n J J

i) ( Xsin(A + i'Z'+ Aa) + A'cT' + Mr'±D)

— ^^^ nt y (- b -h '-^ b' -h -^ i) iNe''e"''nf sin( A + i' l' + Aco + A'gj'+ ut') \xa' A^ \e e' r\ ' J '

im' a^ -^r^ / k k' , u ■ \ .^t , ,,, ^ , .^ ., „ , ,, , : 7-nt y -c4--7c'+-7 + ig\i^e'''e"'- -q-^ cos(iX+ i'/'-t- AcoH- A'cî'+ u-'),

formule dans laquelle on doit prendre ensemble, d'abord les signes supérieurs, puis les signes inférieurs, et faire la somme. Nous ferons observer que nous

avons remplace a! -r-, par — a-r—

On en déduira, en nommant w le coefficient de t dans D,

ixa' ^^ in -+- V n' ± w

|a \2 da J <^f-' \ àa J

+ (^E + ^ E'+ ^f") N± ^X + t'L'+ ^> 4- ^' P' + - q\ n1 X ces (A + i' U -^- Aco + A'nT'4- ux' d= D)

>) ( 2jn'a^ \^ /h J h' , f J\ i t^t , ,, i f

' ^^ \e e' Ti J i -v- IV

2m'a^ yfr^ /k k' , u . \ i

t cos( A + i'l'-\- koi -h k'm'-h ux') — -. .,— ; sin(A + i' l' -j- Aw + A'gj'h- ux')

| in -h iri J

l'a^ Sr^ fk k' , u • \ i -^j , ,,, f

X ^sin(A4- f'/'+ Aoj 4- A'cj'4- ux') 4- - — ^— , cos(A 4- i' U + Aw 4- A'gj'4- ^^t') • L in-\-i'n' ^ '\

On voit que, pour le calcul de <5^>«, on aura à faire toutes les combinaisons