EQUATIONS DES MOUVEMENTS DES CENTRES DE GRAVITÉ

Lagrange a donné à ces équations une forme très symétrique en introduisant la fonction

f/no/n, {m^nii

que nous écrirons plus simplement

on a du reste

A?, = ai-ljr-+ {m- r),.)*+ (C,— Çy)^

On peut calculer les expressions des dérivées partielles —, ^, partant de (2) et (3); on trouve aisément

j en

Çl

dX

i'Ço

dlo

d'où

après quoi l'équation (1) donnera

"'"'dF-Mo'

On pourra donc donner la forme suivante aux équations différentielles des mouvements des centres de gravité des n + i corps considérés

d^l, au

dl^ drio ' dr- -<?>/ ''''~d^-àWr'

df' ~ â^o d% dV dH^ d\]

d'-En d\J

ni

"de- ~dl,: "-^-dF—dW,,

d^dV ' dt^ ~ dZo'

d^Zx dV

' dl^ ~ dKi

d^âV " dt^ -d^.

La fonction U est \â fonction des forces; il est important de remarquer qu'elle ne

di

contient explicitement ni le temps t ni les composantes -^> ••• des vitesses.

La détermination des mouvements de Mo, M,, ..., M^^ dépend de l'intégration du système (a) de 3/^-1-3 équations différentielles simultanées du second ordre; c'est le problème des n -h i corps. Mais il n'a été possible jusqu'ici de faire l'intégration complète que dans le cas de /^ = i ; le système n'est alors formé que de deux corps, le Soleil et une planète. Dans les autres cas, même pour le fameux problème des trois corps, malgré les efforts des plus grands géomètres, on n'a pu obtenir qu'un petit nombre d'intégrales que nous allons faire connaître.

14. Commençons par une remarque sur la fonction des forces U. On a

d'où

On en conclut

ou n "V f)j—rii y. dV> <^U Y^ i,i'(]j — f]ilj

^' g^, - "' 55 = f "'■ 1 '^' —AîT^ ■

si, dans les termes élémentaires des seconds membres, on cbange i anj et inversement, on voit que ces termes élémentaires sont égaux et de signes contraires. On en conclut donc

//N V <^U ^ ft àV d\]\

et quatre autres relations analogues que l'on obtiendrait par des permutations de lettres.

Cela posé, on tire des équations (a), en ayant égard aux formules (4),