ÉQUATIONS DES 3I0UVEMENTS DES CENTRES DE GRAVITÉ

H'^^'T^'-TZZ^-^'-

d^-ii > d'Ki

Occupons-nous d'abord des formules (5); on en déduit, en désignant para,, b^, c^, «2, h.y, c^ six constantes arbitraires,

, s^ dli 7 V ^'^i V ^^i

(7) ctit-^a^ = ^mili, bit+ b2='^mi-ni, Cit ^ c^ = ^ nii^;,

d'où

.. dru dt

C2 = 2 m,- Ki — t^ m; -^ .

Les formules (b) et (c) sont de la forme

T- /?- i- ^ dBo dr]o «fÇo <^i;i \

COnst.=:F(^^„,r)„,Ç„; ^. , ...; , , -;-^, . • • j ;

ce sont donc des intégrales du système («); elles sont au nombre de six et sont connues sous le nom d'intégrales du mouvement du centre de gravité; les formules (7) expriment en effet que le mouvement du centre de gravité des /H- I points matériels considérés est rectiligne et uniforme.

Passons maintenant aux équations (6), multiplions-les par dt, intégrons-les et désignons par a^, b^, c.^ trois nouvelles constantes arbitraires; nous trouverons

Ces trois nouvelles intégrales sont les intégrales des aires; elles expriment que la somme algébrique des aires décrites par les projections sur chacun des plans

^ df]i ^'' dt

. dKt' "^' dt.

1 '^ = Z"'i^^ de

-""'-dï

coordonnés des rayons menés de l'origine aux n + i points considérés est proportionnelle au temps.

Multiplions enfin les équations (a) respectivement par 2-1^» ^TTT^' ^^^

2-^j •••;. ajoutons-les et remarquons que la fonction U ne contenant explicitement que les quantités E», y]o, ^Q; C^, ..., ou 2i

d^d^^ d^dri, à^d^ dlJ^,

dt dlf) dt ÔTiQ dt dCo dt dix dt ^ ' ' "^

nous trouverons

dl^ d^^Q ^dr]Q d^rio , „ <^Co d^Ko\ , ,„ /„ <^^i ^^^i , \ , ^U

dt dt^ dt dt^ dt dt^ J ^ \ dt dt'^ ' " J " ' dt

d V Mkf d-nf dt:f\ d\]

dt 2d "^' l dt^ "^^ dt^ ^ df )'~'^ dt

On peut intégrer après avoir multiplié par dt, et l'on trouve, en désignant par h une constante arbitraire,

c'est une nouvelle intégrale, l'intégrale des forces vives.

Les dix intégrales {b), (c), («?), (/) sont les seules intégrales rigoureuses que l'on ait pu obtenir jusqu'ici.

15. Nous allons obtenir une formule dont Jacobi a tiré des conséquences intéressantes (Vorksungen ûber Dynamik von C.-G.-J. Jacobi, berausgegeben von A. Clebsch, p. 26-3o).

On déduit des équations (a) la formule suivante

or, U étant, par sa définition même, une fonction homogène et de degré — i des quantités Ho, y]o, ^0. ^.» .••, on a

V /? «^U , dV ^ âl]\

ce qui permet d'écrire ainsi la relation précédente

d'ii d^-m , ^ dn dt^^ ~^ '^' dt'' ^ ^' dt

V /y d^h d^-Ui ^ d^ZA

ÉQUATIONS DES MOUVEMENTS DES CENTRES DE GRAVITÉ. Gq

En rapprochant cette formule de l'équation (/), on en déduit

ou bien OU encore

Si Ton désigne par p, la distance du point M, à l'origine des coordonnées, on aura donc

11 est possible de transformer le premier membre de cette équation de manière à n'y introduire que les distances mutuelles A^j des points matériels, au lieu de leurs distances à l'origine des coordonnées.

On a, en effet, ces identités bien connues et d'ailleurs faciles à vérifier

2] mi ^ /«z ^ ? - ( ^ nii l^^ =z^^mi nij ( ^? + ^) — 2 It Ij),

X "^i H '"'■ ^'- ~ (2 "^^ ^')' ~ 1]I] '^^ "^J ( ^1 + Cj - 2 Ki Kj) ; en les ajoutant, on trouve

ou bien, en ayant égard à la signification de p, et de A/,y et tenant compte des équations (7),

2] mi 2] rui pf = 2^ m,- nij Afj + {a^t + a^Y -^ {bit + b^y + {c^t + c^f . Tirons de là ^ m,pj pour le porter dans la formule (8), et il viendra

y-^ l df^ + 2(a?+ 6,^+ c?)J = 2U + ^h,

d'où, en désignant par h' une nouvelle constante arbitraire,

<i^ V lUi nij ^i j

ou bien

Il importe de remarquer que cette équation ne contient que les distances mutuelles des points matériels pris deux à deux et leurs dérivées premières et secondes par rapport au temps.

Si Ton nomme p^ la distance du point M^ au centre de gravité du système, on tire aisément de l'équation (9) la formule

^Yà ^^' "^j ^Ij — ^ "^' 2 'w/p;.-,

de telle sorte que l'équation (10) peut aussi s'écrire

dt''

16. Les observations astronomiques ne nous font pas connaître les mouvements absolus des planètes, mais seulement leurs mouvements relatifs par rapport au Soleil; il importe donc de former les équations différentielles dont dépendent les mouvements relatifs; c'est ce qui va nous occuper maintenant.

Menons par le point Mo, centre de gravité du Soleil, trois axes Mo^, M(,j, MqZ parallèles aux axes fixes; soient, relativement à ces axes qui sont mobiles mais conservent une direction invariable, x^y y^, z■^', oc.,, y.^, z.,\ ..., ^«, y,j, s» les coordonnées des centres de gravité des n autres corps. Nous poserons en même temps

MoMi =-- ri=: Ao,i, MoM2 = /-2== Ao,2,

Enfin nous aurons les relations

L'équation (i) donnera