ÉQUATIONS DES MOUVEMENTS DES CENTRES DE GRAVITÉ. 7I
La relation
nous montre d'abord que x,, ne sera introduit que par ^,,; on aura donc
La même relation nous donne
dt^ dt^ de-
OU, en ayant égard à la formule (12),
df ~ df" 2à r\ '
les équations {a) nous donnent du reste, si nous tenons compte de (i3),
dn k i dy] i d\S dt^ nijc d\k '^/t àxk Il viendra donc
^ ^^ dt^ ~ nik dxk ^ rf
Il convient de mettre à part dans U les termes qui contiennent /^o en facteur; on trouve aisément
en posant
nii rrij
dans cette formule, les indices i etj ne peuvent plus prendre la valeur zéro. On trouve immédiatement
ô ^ m, r^ Xk
l'équation (i4) pourra donc s'écrire
d^Xk ç Xk f^niiXi I dU' Les mouvements relatifs des centres de gravité des n corps considérés, par
72 CHAPITRE m.
rapport au Soleil, dépendront donc des 3/i équations différentielles suivantes :
d^ z^ - ^1 - ^ /n^ Zj 1 (?U'
dt''
où l'on a
On voit que le nombre des équations différentielles {g) est inférieur de trois unités à celui des équations (a); il y aura donc dans les intégrales générales six constantes de moins que dans celles des équations («); ces constantes sont précisément celles qui figuraient dans les intégrales du mouvement du centre de gravité.
17. On ne connaît que quatre intégrales des équations {g)\ elles correspondent aux intégrales {d) et (/) du n° 14; nous allons les déduire de ces dernières.
Dans les formules (7), remplaçons ^,-, yj,, ti par leurs valeurs (11), et nous trouverons
d'où
«1 ^ 4- aj = lo{niç, + ^ niA + ^ m, jCi, a^t -\- a^ — 7] nti Xi
dl.
Y-i dxi
no = — ;
Cl t -h Ci— 'Y nii Zi
dt ~
'«0 + Yà '^''
dt]^
dt -
V' dzi
"' 2 '^^^ dt
dt
ÉQUATIONS DES MOUVEMENTS DES CENTRES DE GRAVITÉ. j3
En faisant la même substitution dans les formules (/) et (d), il viendra
dyl dzj dC" ^ dt^
dl
dt Zà
dxi df\ç, "^ dji dt^o
dzi
dt ^ dt
dt dt jLà ' dt dt ^d ' ,dt
dKo y df\a\ ( , v* \ , V '^^'^ >- V dy
dt
et deux autres formules analogues relatives à h^ et ^3-, l'indice i doit recevoir partout les valeurs i, 2, ..., /i, n désignant le nombre des planètes.
Il suffit maintenant de porter les expressions (16) dans les formules (17) et (18). On trouve, après quelques réductions,
iU-|-2/.=2'^'- J
(dx) dy] dz]
+ -TTf +
\ dt'^ dt^ dt
dzi cly^ ^'' dt,
"■^=^"''(y^ dt ^' dt
en introduisant la fonction U' par la formule (i5) et changeant de constantes, on trouve les quatre intégrales sous la forme suivante :
dzi dy,
dx,
dz
dt dt ^
I / v^ v^ dxj V . .- 'V dzi
V^ V^ aXj v^ v^ azi
Z "" =• 2, "" rfT - z ""■^' Zi""ih
îoH-^
et
~clt
dyt
dt
