CHAPITRE IV. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SYMÉTRIQUES

FORME SYMÉTRIQUE DES ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES DU MOUVEMENT RELATIF DES PLANÈTES.

19. Les équations (A) du Chapitre précédent sont celles dont on se sert effectivement pour calculer les mouvements des planètes; dans certaines recherches théoriques, elles présentent toutefois un grave inconvénient, elles ne sont pas symétriques : leurs seconds membres contiennent en effet des fonctions R,, R^, ..., qui diffèrent d'une planète à l'autre. Il est possible d'obtenir pour les n planètes des équations différentielles dont les seconds membres ne contiennent qu'une seule et même fonction ou plutôt ses dérivées partielles du premier ordre

Conservons les notations du Chapitre précédent; nous allons remplacer les variables ^o, y]^, Co» ^i» ^o ^i» ••• P^ï" un système de coordonnées défini comme

il suit.

Fig. 10.

Mo Gi

Soient {fig. lo) : -

G, le centre de gravité des masses M^ et M< (lesquelles sont condensées, comme

on l'a dit, aux points M^ et M, ) ; Go le centre de gravité des masses M,,, M, et Ma;

G«, le centre de gravité des masses M(,, M,, Mj, ..., M„, ; G celui de tout le système.

Nous prendrons comme nouvelles variables :

X,, y,, z,, coordonnées de M, par rapport à trois axes parallèles aux axes fixes et

passant par M^; ^2» ya» Z2, coordonnées de Ma par rapport à trois axes parallèles aux axes fixes et

passant par G, ; X3, yg, Z3, celles de M3 par rapport à Ga ;

x«» y«, Zfl, celles de M„ par rapport à G^..,»

Nous y ajouterons les coordonnées X, Y, Z du point G par rapport aux axes fixes.

La première chose à faire, c'est d'exprimer les anciennes variables en fonction des nouvelles.

Pour y arriver, représentons par X^, Y,-, Z, les coordonnées de G^ par rapport aux axes fixés et posons d'une manière générale

(1) /Mo -H m, -h ^2 + . . .-t- m/ = |jij,

l'indice «pouvant prendre les valeurs o, i, 2, ... n-^ nous aurons

(2) ^l=Ç0+Xi, £2 = X) H- X2, Ç3=^X2+X3, ..., Ç„ = X„i + x„.

Mais on a aussi, d'après les propriétés du centre de gravité.

^2 X2 = TWo lo + mi II + ma Ça, j

F/J-lX„i = /Mo lo + '^1 11 + ^^^2 I2 +• • .-}-/n„i|„i,

\i.n X =Wo lo + ni^ Il + W2 I2 + • . • + mn-i. |,i-i + in,^ |„.

Tirons delà les valeurs de X,, X2, ...,X„, et portons-les dans les relations (2); nous trouverons

Il =|o+ Xi,

r nip lo + m. Il

ri V molo 4-/^1 11 + m2|2

t ^0 lo + ^1 11 + • • • + ^/t- 1 l«-l ^ ^