Les formules (5) rentrent dans le type suivant

^0 :=: X 4- <3!o,l '^l + ^0,2 X2 + • . • + Cl(),n ^m

Çi ^= X + «1^1 Xi + ûtij2 X2 + . . . 4- Cti^^ X„,

^j = X + «îj'^j Xj + ai^z X2 + . . . + «j,„ X„, )

^„= X H- at„,iXi + ««,2X2 + • • • + ««,« x„,

si l'on pose

ai ,=z i, pour i</,

(7) \ aij — o, pour />y,

Cela posé, formons l'expression de la quantité

en y remplaçant les quantités ^ par leurs valeurs (6); H deviendra ainsi une fonction du second degré des quantités X, x,, Xj, ..., x,,. Le coefficient de X^ dans H sera

on trouvera pour celui de 2 Xxy

• rn^a^j + m, a^j + . . . + /n„a„ j = ^ Wj«/,y ;

pour celui de 2XyX^, j étant différent de k, et enfin, pour le coefficient de xJ,

ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SYMÉTRIQUES. 8l

Or, en tenant compte des formules (7), on trouve aisément

^"hai,j

= — (/Wo + m^ -h . . . + /Wy i )^ -\-mj y— ^ = o,

et, en supposant, pour fixer les idées, y <^,

=i{ma-i- rrii H - . . . -h rrij^^ ) ^ i nij '-^—^ — - =1: o. On a donc ces relations

i-zO

(8) < 2 '^j'^/.y «/,A- •= o, pour j > k,

et il en résulte cette formule remarquable

On en aurait deux autres toutes pareilles pour les coordonnées yj et C

On peut difTérentier les équations (6) par rapport au temps; on aura entre les

dérivées -^, -~, -^ des relations de même forme, telles que T. - I.

On en conclut immédiatement l'expression de la force vive 2T du système des points matériels Mo, M,, Ma, . . ., M„, exprimée avec les nouvelles variables; on a en effet

-='4(ty-(^)"-(§)>-'"»P)'-(%y-(§)i-

d'où

21. Cherchons maintenant à calculer une expression qui nous sera utile dans un moment, celle de

où l'on doit remplacer d'une manière générale ^, et y], par leurs valeurs

'c,i = X+ a,-,iXi + . . . + a,-,yXy-i-. . .4- «/,„x„, yî,-= Y.+ a/,,yi 4- ... -I- a,-,/,y;r.4- . . . + a/,„y«,

déduites des formules (6); on a tout d'abord

dEi d\. dx, dxi dx„

dni dY dy, dy^ dy„^

~dï-'dt -^"'•'■^^•••^^'■'^^^•••"^^''"■^^

en substituant dans (n), il vient

dX s^ ^ d\.

En vertu des formules (8), cela se réduit à

On obtient ainsi la formule cherchée