ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SYMÉTRIQUES

22. Nous allons former enfin les équations diflerentielles dont dépendent nos nouvelles variables; nous emploierons pour cela les formules de Lagrange.

Les relations (5) expriment les coordonnées de tous les points du système en fonction des variables indépendantes X, Y, Z, x,, y,, z,, Xo, ..., z^^; soit ^y^

l'une quelconque de ces variables, q^ == ~^'; on aura

d / dT\ dT âU

dt \dqkj àqk aqu

La fonction T est donnée par la formule (lo).

Il faut remarquer que U, qui, d'après les équations (a) du n'* 13, ne contenait que les différences ^,— ^y, y], — y]y, T, — Ty des coordonnées, ne dépendra pas de X, Y, Z, mais seulement de x,, Xj, . • ; yt, Va. • . ; z,, Zo, ... ; cette fonction ne contiendra pas non plus le temps explicitement.

Prenons d'abord

nous aurons

ÔT àqk

-— = o ; àqk

donc la formule (i3) donnera

^^X dt-

d'où, en désignant par a, 3, y, a', P', y' six constantes arbitraires,

(i/i) X--^a/-ha', Yzz:[3^+. (3',, Z = yf4-y';

on retrouve ainsi le théorème connu pour le mouvement du centre de gravité d'un système soumis seulement aux actions mutuelles de ses points. Faisons ensuite

qk — y^i\

nous aurons, en partant de (lo),

àT [Xi^ , iXi^ dx, a\i /Xj iJ-i dt

ÔT à\i

et la formule (i3) donnera

Il viendra donc, pour les équations différentielles cherchées,

f^o„, d'y^ àV \

ixi dt^ dyi

p-i dt^ ozi

Ij-i d^X2 àU

]UL2 di^ 0X2

/JL2 «^^ dy2

jui, = /TZo + m, ;

p.2— mo4- mi4- 7^2 ;

^•-Z2 dU ^' <ii2 — ^^

On voit que ces équations possèdent maintenant la symétrie demandée.

Il convient de voir quelle sera, d'une manière générale, la composition de U à l'aide des nouvelles variables.

En ayant égard à l'expression connue de U en fonction des A/,,- et aux relations (5), on trouvera aisément les formules suivantes

U„ / nZt nia

Ao.i

Al,2 ' Al, 3

^^+]i7'v -^v^-^^ir^V "^r"^ /^''"

A?,3= X3+— X2+— -X, + ysM iyjH '-y, -h Z3 -4 -" Zj -! ^

/ m, ZjH ^Z2-

Al,3-