ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SYMÉTRIQUES

on est ainsi ramené à un système (B) de 3n équations différentielles simultanées du second ordre, dans lesquelles la fonction U dépend des nouvelles variables par les formules (C).

23. On aura naturellement quatre intégrales de ce système; elles se déduiront des formules (d) et (/) du n° 14, en ayant égard aux équations (lo) et (r2) du présent Chapitre, et remarquant que, d'après les formules (i4)» les quantités

. fdxy fdYy fdzy [-dtj -^[-dl) '"-[-dï)'

^dZ „d\ „^X ^dL ^dY ^dX

dt dt dt clt dt dt

sont des constantes. On trouvera ainsi, en désignant par a',, ^'j, c, , K^ quatre constantes arbitraires,

dt dt

f^'-' „. (^ ^yi .rl^^i\.

'~2à n, '"'P' dt ^' dt r

(F, .;,; = 2^"4fêT-(t)'-(§y]-^'^-

On voit que, non seulement les équations différentielles ont une forme plus simple, mais aussi les quatre intégrales connues, quand on emploie les nouvelles variables x,-, y,-, z^ au lieu des anciennes ^/, j/, z^.

Il nous reste enfin à indiquer comment, en supposant effectuée l'intégration du système (B), on trouvera les coordonnées des planètes rapportées au Soleil ; les formules (4) répondent à la question; elles donnent en effet

/ ^1 — ^i> j'i — yi> -^1 — Zi,

0^2— XaH -X,, y^ — y^-A y,, ^2 = Zj H *z,,

ri ri /^i

•^3^X3+ --X2 4- — X,, J3=y3+ --72+ — yi, -3 = Z3H Z2-1 ^ Z„

r2 ri r2 ^'•l /^2 f^i

La considération des équations (B) peut être utile dans certaines recherches théoriques, comme nous aurons occasion de le montrer dans la suite de cet Ouvrage.