CHAPITRE IV. — ÉQUATIONS DIFFÉRENTIELLES SYMÉTRIQUES

Remarque L — Soient, relativement à des axes fixes, P<, P2. •••» P«» ri points ayant pour coordonnées x,, y,, z, ; Xj, y^, Za, ...; x„, y„, z„; attribuons à ces

points des masses égales respectivement à —m,, — mo, ..., ^^^^m„, et supposons-les soumis à des actions admettant une fonction des forces U, définie par les formules (C); les équations différentielles du mouvement absolu des points P,, P2, ... seront identiques aux équations (B). Dans ce mouvement, les formules (D) et (F) représenteront les intégrales des aires et des forces vives.

Remarque IL — La fonction U est plus compliquée que chacune des fonctions R<, Ra» •••» qui figuraient dans les équations (A) du n" 18; on voit, par les formules (C) que Ao,2 ne représente plus la distance du point P2 à l'origine; A,,2 ne représente plus la distance P,P2. Toutefois, quand on considère les

mouvements des planètes autour du Soleil, les rapports — ^ --5 ■••? -- sont

petits, inférieurs à -~^; on voit donc que la quantité A,j diflère peu de la distance des deux points P, et Py.

Remarque IIL — Les variables x,, y,, Z/ diffèrent de même très peu de xi, ji, Zi', mais on a rigoureusement, pour la planète M,,

• a?, =rXi, j^j=:yj, ^i=:Zi.

Il va sans dire que l'on pourra prendre pour M< l'une quelconque des planètes M,,M2, ..,M„.

La substance de ce Chapitre est tirée d'un intéressant Mémoire de M. R. Radau, intitulé « Sur une transformation des équations différentielles de la Dynamique » {Annales de l'École Normale, i""" série, t. Y); M. Radau avait pris lui-même pour point de départ des résultats particuliers obtenus par Jacobi dans son célèbre Mémoire Sur l'élimination des nœuds dans le problème des trois corps (^Journal de Liouville, i*"* série, t. IX V