CIL\PITRE V. — ÉQUATIONS DU 3I0UVEMENT EN COORDONNÉES POLAIRES

EQUATIONS DIFFERENTIELLES DU MOUVEMENT DES PLANÈTES EN COORDONNÉES POLAIRES.

24. Si l'on se reporte aux équations (A) du n° 18, on peut écrire comme il suit les équations différentielles du mouvement de la planète M dont les coordonnées rectangulaires héliocentriques sont se, y,z:

OÙ l'on a fait

\ R = im' ^- 4- ... ;

oo\f\ z\ r\ m' désignent les coordonnées rectangulaires, le rayon vecteur et la masse de l'une quelconque M' des planètes perturbatrices; enfin m^-^m est la somme des masses du Soleil et de la planète M.

Dans un très grand nombre de questions, il est utile de remplacer les coor^ données rectangulaires a?, y, z par les coordonnées polaires r, v, 0; on aura d'abord

(2) ^ = /-cosôcost^ 7=rcos9sinr, 5 = /-sin9;

rest le rayon vecteur, v la longitude et 0 la latitude.

Pour trouver les équations différentielles que vérifieront r, v et 0, il n'y a qu'à

appliquer les formules de Lagrange; on aura d'abord à exprimer, à l'aide des nouvelles variables, la quantité

/^Y (dyY fdzy \dt ) '^\dt) '^\dt) '

on

trouve

(^)'+,-'COS

En

appliquari

itla

formule

dt

âT

' dqi

et prenant ^, = r, q.^=^ v, q^ = G, on obtient les équations cherchées

d'^r ,^dv^ dO^ d^

dt- dt^ dl^ dr

(a) { \ dij^ __ à^

dt di'

25. Nous allons transformer ces équations en introduisant, au lieu de r et 9,

les nouvelles variables w et * définies par les formules

- est la projection du rayon vecteur sur le plan des xy, s est la tangente de la

latitude.

Nous trouverons aisément

or au ad au os

Multiplions d'abord par 2^2 cos^O^ les deux membres de la deuxième équation (a); il viendra

d— — 2 dv u^ dt 2 dO^ r/c

u^ dt dt u^ dv dt '

d'où, en intégrant et désignant par h^ une constante arbitraire,

/ I dvy ,, r i ÔQ. dv ,