PREMIÈRE APPROXIMATION DU MOUVEMENT DES PLANÈTES
membres des équations (a), (a^ ), . . ; on trouve alors les équations
d^v „ r dt^ + ^^ ,3
d^z . z dt^ + ^^ ,-3
dt^-'-^^^rl
d^z^ . Zi
Les équations {b) forment un groupe indépendant de (6, ) ; on a naturellement le même résultat que si l'on avait traité du mouvement de chaque planète comme si elle existait seule autour du Soleil.
Nous allons donc nous occuper de l'intégration des équations {b); cette intégration peut se faire rigoureusement; les formules générales auxquelles nous arriverons conviendront aux équations (Z>,), . .; l'ensemble de ces formules constituera la première approximation. Il restera ensuite à montrer comment on peut utiliser les intégrales des équations {b^, (b,), ... pour intégrer par approximation les équations (a), (a,),
29. Intégrales premières. — Si l'on ajoute les deux premières équations (b) après les avoir multipliées, la première par —y, la seconde par + x, on obtient une combinaison intégrable; on trouve ainsi, en désignant par C, G', G" trois constantes arbitraires
dz
^ dt
dy -^Tt
dx
^Tt
dz -""-dt
"^ dt
dx ~y'di
ce sont les intégrales des aires.
On forme avec les équations {b) une autre combinaison intégrable, en les multipliant respectivement par ^dx, idy, idz et ajoutant. Soit a une constante
arbitraire; on trouve ainsi
(n\ ^-^^ , dy , ^-' 2f^ i>^
c'est l'intégrale des forces vives.
Nous montrerons dans un moment comment on peut déterminer la courbe décrite par la planète en partant des intégrales ci-dessus.
Mais nous allons d'abord faire connaître trois autres intégrales données par Laplace dans la Mécanique céleste et qui nous serviront plus loin.
On tire des équations (b)
et, en remplaçant dans le second membre C et C" par leurs valeurs (A), il vient, après une transformation facile,
2 da; dr
^ 'dt^"^ dF~-^^ H '
on peut intégrer, ce qui donne
^,, dv „, dz X
dt dt ' /■
Soient donc F, F', F" trois constantes arbitraires; on aura les trois intégrales cberchées
^ r dt dt .
Il faut supposer dans ces formules C, G', C" remplacés par leurs expressions (A).
Entre les sept constantes C, C, C", a, F, F', F", il existe deux relations faciles à obtenir. On trouve d'abord, en ajoutant les formules (C) après les avoir multipliées par G, G', G",
CF + C'F'+ C"F" --= -^ (C^ + CJy + C"^); mais les formules (A), multipliées par oc, y, z, donnent
MOUVEMENT ELLIPTIQUE. g-j
il vient donc
CF + C'F' + C"F" = o.
On démontre ensuite par des calculs faciles que l'on a identiquement
Il résulte des deux dernières formules que, sur les sept intégrales (A), (B) et(C), cinq seulement sont distinctes.
30. Revenons à la détermination de l'orbite ; l'équation (i) montre qu'elle est plane, et que son plan passe par le Soleil. Nous prendrons ce plan pouro^Oj, de manière que z sera constamment nul; les intégrales (A) et (B) se réduiront à
dy dx
dt - dt
dx"^ + dy"- ^ / 2 I
df" ^\r a
OU bien, en remplaçant C" par c et introduisait au lieu de x etj les coordon nées polaires r et 2r,
(a) '^-dt^'^
,„. dr'-^r^d'^^ (1 I
Soit S l'aire décrite par le rayon vecteur r quand la planète passe de la position qui répond au temps t^ à la position qi*elconque qui correspond au temps t. On a
la formule (2) donnera
rfSr= -r^rfS;
Les aires décrites par le rayon vecteur sont donc proportionnelles aux temps employés à les décrire. On retrouve ainsi la première loi de Kepler; on voit en même temps que la constante c représente le double de l'aire décrite dans l'unité de temps. Si l'on élimine dt entre (2) et (3), il vient
d'où
f jUL 2 f fJl C^
/fv fif /£ f|f y
On aura donc, en intégrant et désignant par w une constante arbitraire,
2r — M = arccos
d'où
/fV fF y c^ a
I + 1/ 1— 7 — cos(3- — w)
c'est l'équation de la trajectoire. On voit que c'est une section conique ayant pour foyer le centre du Soleil; dans le cas des planètes, les conditions initiales doivent être telles que cette courbe soit une ellipse. Nous retrouvons la seconde loi de Kepler.
Désignons par p le paramètre, a le demi grand axe, e l'excentricité de l'orbite, qui sera inférieure à l'unité; soit (Jig. 12) A le point de l'ellipse le plus
voisin du foyer 0, point qu'on nomme le périhélie (le point A' le plus éloigné du point 0 est Vaphélie)-, représentons par w l'angle AOP que fait avec OA le rayon vecteur r= OP de la planète au temps /; (^ est appelé Y anomalie vraie de la planète.
