MOUVEMENT ELLIPTIQUE
L'équation bien connue de l'ellipse, avec les coordonnées r et w, est
i-\-ecosw i-t-ecosw
la comparaison de cette expression avec (4) donne
(5) WrrrSr — (V — XOA;
0) est donc l'angle que fait avec OX le rayon vecteur du périhélie; on a ensuite
d'où l'on tire
c = \Jï^p — \J{lJ.?({\ — e^)
et
ainsi la constante a, que nous avions introduite dans l'intégrale (B) des forces vives, n'est autre chose que le demi grand axe de l'orbite.
Si donc V désigne la vitesse de la planète à l'époque t, on aura, d'après (3),
(7) ^'=fK?-^)^
c'est une formule importante.
L'aire de l'ellipse est
si l'on représente par T le temps employé par la planète à décrire son ellipse, l'aire - décrite dans l'unité de temps sera
Tia^\/
c Tia^yi — e'
remplaçons c par sa valeur (6), et nous trouverons
ce qui est une relation fondamentale pour la suite.
lOO CHAPITRE VI.
Pour la seconde planète P,, on aura de même
on conclut des deux dernières formules
Tf a? I + m ' on n'a plus
et la troisième loi de Kepler cesse d'être vérifiée rigoureusement; mais elle l'est d'une façon très approchée, car nous avons dit que les nombres m et m^ sont
très petits; la fraction — — diffère fort peu de l'unité. On désigne ordinairement par n le quotient
qu'on appelle le moyen mouvement ; c'est la vitesse angulaire que devrait avoir un rayon vecteur fictif qui tournerait d'un mouvement uniforme autour du point 0, de manière à faire une révolution complète dans le même temps T que le rayon vecteur de la planète.
Si l'on introduit la quantité // dans les formules (6) et (8), on trouve les relations
(II) /i^a^zi^f^ — f(i + m),
(i2) c-^na^s/i — e%
qui sont d'un usage constant.
31. Calcul de la position dans l'orbite. — Nous allons montrer maintenant comment on peut déterminer la position de la planète sur son orbite à une époque quelconque.
On a, d'après (5),
d'à chv
dl ~ ~dt'
MOUVEMENT ELLIPTIQUE. lOI
il viendra donc, en ayant égard aux formules (2) et (12),
\ i + ecostv'
ces deux équations déterminent /• et w en fonction de t. Éliminons w : nous aurons
ère
d'oLl
, « v/ 1 — e' dr
dw =
en portant cette valeur de w dans la première des équations (i3), il vient
( 1 4 ) ndtr=. —
« \la^e'' — {a—ry
On est conduit à prendre une variable auxiliaire u définie par la relation
a — r =iae ces w, on en tire
(i5) /• = «(! — ecosw),
et, en portant cette valeur de r dans l'équation (i4)> il vient
n dt =: (i — e cos u) du,
d'où, en intégrant et désignant par t une constante arbitraire, (16) u — e sin u zzz n{t — t).
La variable auxiliaire u est susceptible d'une interprétation géométrique très simple. Décrivons, en effet, un cercle sur le grand axe de l'ellipse comme diamètre; l'ordonnée QP (Jig. i3) perpendiculaire sur CA rencontre cette circonférence en R; menons la droite CR et faisons pour un moment
CQ-x;
nous savons, par les formules de la Géométrie analytique, que l'on a
OP =/' = « — ex.
En comparant avec la formule (i5), il vient
x=^acosu;
mais le triangle rectangle CQR donne
X — acos(QCR)
u = QCR.
on a donc
C'est l'interprétation cherchée ; la variable auxiliaire u se nomme Vanomalie excentrique de la planète.
Fis. i3.
La formule (i6) fera connaître la valeur de l'anomalie excentrique en fonction du temps; l'équation (i5) donnera ensuite r.
Nous pouvons remarquer qu'au point A on a w = o; la formule (i6) donne alors / = T ; donc la quantité t représente le temps du passage de la planète à son périhélie.
Il nous reste à déterminer w en fonction de u. Pour y arriver, il suffit d'égaler les deux expressions (i 3 ) et (i 5) de r. On trouve ainsi
d'où
a(i — e^) iH- ecosw ~
— ecosu),
cosw
cos u —
e cosw
sin«
siii w
T — e cos u
L'une ou l'autre de ces formules permet de calculer w en fonction de u; mais
MOUVEMENT ELLIPTIQUE. Io3
elles ne sont pas les plus commodes pour le calcul numérique. On tire de la première
, (p (x — e) (iH- cosm)
