VS
— esina::^^,
=r a(i — e co&u),
ta
ng- = 4/ tang-
Il nous reste à donner les intégrales complètes des équations (b).
32. Calcul de la position héliocentrique. — Nous reprenons trois axes Ox, Oj, 0^ de directions invariables se coupant au centre du Soleil; il est dans l'usage actuel d'adopter pour plan des ooy le plan de l'écliptique au i^"" janvier i85o; la partie positive de l'axe des oc sera la droite menée du point 0 à l'équinoxe moyen du printemps à la même époque. La partie positive de l'axe desy sera dirigée vers le solstice d'été, et la partie positive de l'axe des z vers le pôle boréal de l'écliptique.
Du point 0 comme centre, avec un rayon égal à l'unité, traçons une surface sphérique; soient (Jig. i4) ^» JK» ^ les points où elle est percée par les parties positives des axes. Le plan de l'orbite de la planète coupe la surface de la spbère
Fig. i4.
suivant un grand cercle MN qui rencontre le grand cercle xy en deux points qu'on appelle les nœuds du plan de l'orbite : l'un est le nœud ascendant, l'autre le nœud descendant. La définition du nœud ascendant est la suivante : Dans son mouvement, la planète perce le plan des xy en deux points C et C; considérons celui de ces points, C, où le z de la planète, en devenant nul, passe du négatif au positif; le rayon OC rencontre la sphère au point N qui est le nœud ascendant.
L'arc x'^ compté à partir du point x, dans le sens xy, jusqu'au point N est la longitude du nœud ascendant ; nous la représenterons par 0. L'angle yNM que
MOUVEMENT ELLIPTIQUE. Io5
fait le plan de l'orbite avec le plan des œy est V inclinaison dé l'orbite; nous la désignerons par ç; elle est définie sans ambiguïté par les directions Ny et NM prises respectivement dans le sens xy et dans le sens du mouvement de la planète.
Les deux quantités G et <p déterminent sans ambiguïté la position du plan de l'orbite; 0 peut être compris entre o° et 36o°. Toutes les planètes tournent dans le même sens, sens direct, autour du Soleil; le plan des xy diffère peu de l'orbite d'une des planètes, la Terre; donc l'angle 9 sera compris entre 0° et 90°. Il y a plus, les anciennes planètes ont des orbites peu inclinées les unes sur les autres; 9 sera donc pour chacune d'elles un angle assez petit.
Pour les comètes, ç peut être compris entre 90° et 180^; alors le mouvement de la comète est rétrograde; les définitions de 9 et ô données ci-dessus sont applicables à tous les cas.
Après avoir fixé la position du plan de l'orbite, il faut indiquer l'orientation de l'ellipse dans ce plan : soient A le périhélie, P une position quelconque de la planète sur son ellipse; les rayons OA etOP percent la surface de la sphère aux points n et M; pour déterminer la position du point H, on donne la somme des arcs x^ et Nil (Nil est compté à partir du point N jusqu'au point H, dans le sens du mouvement de l'astre), et on la représente par cj; on a donc
icN + NU^GT,
d'où
Nn = nî-0;
TS est ce que l'on appelle la longitude du périhélie, f l,^^ i'r^^ij
Il faut maintenant faire connaître la forme de l'ellipse, en donnant son excentricité e, et sa grandeur absolue, en donnant le demi grand axe a, ou la distance moyenne de la planète au Soleil.
On doit dire ensuite comment la planète parcourt son orbite ; cela se fait en introduisant la durée T de sa révolution, ou le moyen mouvement
'ITZ
enfin, il faut savoir à quel point de son orbite la planète se trouve à un moment déterminé; on donne pour cela le temps du passage aupérihéliey t.
Il est facile maintenant de calculer la position de la planète en fonction du temps et des constantes qui viennent d'être définies; on aura d'abord
u — esinw = /i(f — t), /■ ir= a (i — e cosw) ;
désignons par v la somme des arcs x^ etNM, l'arc NM étant compté comme NII T. - I. • i4
Io6 CHAPITRE VI.
à partir du point N, dans le sens du mouvement de la planète; v est ce que l'on nomme la longitude de la planète dans son orbite. L'anomalie vraie w est l'angle
w =r AOP — - HM = t^ — CT ; on aura donc, d'après la dernière équation (<?),
tang^ -=\/ tang-;
2 yi — e 2
on a ainsi ret v.
Reste à former les expressions de x, y, z, coordonnées rectangulaires de la planète P, par rapport aux axes définis au commencement de ce numéro. Or -,
-i ^ sont les cosinus des angles que fait le rayon OP ou OM avec les axes; si donc nous traçons les arcs de grands cercles Ma;, My, Ms, nous aurons
= cos(M^), ^ = cos(Mj), - = cos(]VI-s).
Pour obtenir ces cosinus, nous considérons les triangles sphériques
M^N, MjN, M^N, dans lesquels on a
jN = - — 0, ^m = v-Q, yNM=9,
en appliquant à chacun de ces triangles la formule fondamentale de la Trigonométrie sphérique, on trouve
cos(M^) =:cosôcos((' — 0) — sin 0 sin(p -- 0) COS9, cos(Mj') = sinô cos(p— Q) + cosô sin(ç^— Q) C0S9, cos(]Vl5)= sin((^— 0) sin9.
On voit que les formules précédentes font connaître x, y, z en fonction de t et des six constantes arbitraires a, e, cp, t, w, 0; la quantité n ne doit pas être comptée comme une constante distincte de a, puisque c'est une fonction de a définie par la première des relations (c). On a donc ainsi les intégrales générales des équations (è).
