MOUVEMENT ELLIPTIQUE. IO

Les astronomes introduisent généralement à la place de i un autre élément £ défini comme il suit : imaginons, comme plus haut, un rayon vecteur fictif coïncidant avec le rayon vecteur de la planète aux époques t, t + T, T 4- 2T, . . . , et tournant d'un mouvement uniforme autour du point 0 ; il effectuera donc une révolution dans le temps T, et sa vitesse angulaire sera n; à l'époque t, ce rayon percera la surface de la sphère au point M', et l'on aura

lLW = n{t — T) = K;

si sur OM' on prend une longueur 0P'= a, V sera une planète fictive qui resterait à une distance constante du Soleil, et serait animée sur son orbite circulaire d'un mouvement uniforme.

La longitude de cette planète tictive, dans son orbite, serait

/est ce qu'on appelle la longitude moyenne de la planète P; à l'époque zéro, elle se réduit à xs — nr:, quantité que l'on représente par e; £ est donc la longitude moyenne à l'époque zéro; on dit plus simplement que c'est la longitude moyenne

de Vèpoque. On a donc

CT — nz ^= S, d'où

nr = Ts — e;

l'anomalie moyenne devient

(21) }:^-=znt — nr^=:nt-he — m;

la longitude moyenne / peut s'écrire

Z = £ H- nt,

de sorte que

(22) Ç= l — TsS.

Nous aurons donc finalement, pour les intégrales générales des équations (6), cet ensemble de formules

u — e sin u r=z nt -\- s — rn, r r= a(i — e cos«),

tang-^ = i/^-^tang-,

a? = /'[cos9cos((^ — Q) — sin(5sin((> — 0) coscp], y =: /•[sin9cos(^' — 9) + cosôsin(c' — S) COS9], 5r=;/'sin(p — 9)sin9.

Io8 CHAPITRE VI.

Les six constantes 0, ;p, cr, e, a, £ sont appelées les six éléments du mouvement elliptique, ou souvent, par abréviation, les six éléments elliptiques de la planète.

Remarque. — L'arc IIM' étant égal à l'anomalie moyenne, on a

tv=Ç + M'M, r = / + M'M;

la quantité M'M est ce qu'on appelle Véquation du centre; c'est ce qu'il faut ajouter à l'anomalie moyenne pour trouver l'anomalie vraie, ou à la longitude moyenne pour obtenir la longitude vraie; si nous la représentons par c, nous aurons

(23) C — iv — K, et il en résultera

(24) I où

/ rr: £ H- ntc

33. Revenons à la Jig. i4; prolongeons l'arc de grand cercle zM jusqu'à sa rencontre en H avec le grand cercle xy; la droite OH sera la projection du rayon vecteur r sur le plan des ^j. Posons

a; H = (', , HM — ç ;

V, et s sont la longitude héliocentrique et la latitude héliocentrique de la planète, et constituent avec r ses trois coordonnées polaires.

Le triangle sphérique MHN est rectangle en H; on a dans ce triangle

NH=r, -9, NM=r-Ô;

(25) tang((^i— B) — cos9tang(c— 0), (e) sin5 = sintp sin(r — 0);

ces formules permettront donc de calculer ç^, et s.

Lorsque l'inclinaison cp est petite, et c'est le cas usuel, on calcule généralement v^ d'une autre façon; on sait qu'on déduit de l'équation ( 25)

tang2 ^ tang* ^

((;,-{5)=r(('— 0) : — ^sin2(<^-^)+ -; — ^^?sin4(('-0)-...;