UECUERCUES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS
lèle à CC", tandis que OM" Test à CC; si donc on prend 00"= CC", 00' = CC, le triangle 000" sera égal au triangle formé par les trois corps, et les côtés des
Fig. 17.
deux triangles seront parallèles deux à deux. Les droites ON' et ON" sont respectivement parallèles aux vitesses des corps C" et C dans leurs mouvements relatifs autour de C. Le point 0 est fixe; le lieu du point 0" est une certaine courbe. Considérons le plan qui passe par la tangente à cette courbé au point 0" et par le rayon 00"; c'est ce que 'l'on nomme le plan de l'orbite du point 0" à l'époque /; on voit que ce plan coïncide avec celui du grand cercle M' N'. On pourra donc dire que, si l'on considère les orbites relatives des corps C et C" par rapport au point C, les plans de ces orbites relatives, à l'époque /, seront respectivement parallèles aux plans des grands cercles M"N" et M'N'. Cela posé, si l'on se reporte aux expressions (17), on trouve
cosM'N' cosM'N"=: — -
u'r'X clt
dt
~dt
a' dt '
I dr" cosM"N"= -„ -j-, a dl
dx" dv" ,dz"\ ^,„^,,
.r' -T- + 7' — + ^' -TT- ) ' cosM"^':
dt
dt
,dx'
,dy' di
,dz^
'di
ou bien, en vertu des relations (16),
I f dp
cosM'N"
2 /•' a" \ dt
cosM"N'
I f dp
On a ensuite
enfin
COSM'M"^:-
2 /■" II' \ dl
.vx. P .
--^(x'x"+yy-^z'z")=:-^,;
cosN'N"
I /dx^ dx" dy' dy dz' dz" Ti'lÂ'' \dt ~dt ~di ~dt ~^ ~dt ~dt
Mais on trouve, à cause de (5),
dx"" dy dz"" dx'"- dy'"" dz'""
df" dt^ df" df^ dt^ dt''
(dx' dar\^fdy dfy(dz^ dzJy- \dt ^ dt ) ^ \dt "'' dt ) ~ \dt "^ dt
et il en résulte
cosN'N"
Pour résumer ce qui précède, nous poserons
a' = cosM'M", [3'=zcosM'N", y' — cosM'N', a"=::cosN'N", [3"=cosM"N', y"=cosM"N";
d'où
nous aurons les formules suivantes :
dp
dt
dp dp"
dt dt
fH"-
dp
2V/(/?4-/>')(<'+<^") dp dp dt "^ dt
45. Reportons-nous à lay^g-. 17; nous voyons que a', p', y', a", fl", y" sont les cosinus (les quatre côtés et des deux diagonales d'un quadrilatère sphérique M'M"N'N". Or ce quadrilatère est déterminé quand on donne les quatre côtés et seulement une diagonale M'N", car on peut construire alors les deux triangles spliériques M'N'N", M'M'N"; il existe donc une relation entre les six quantités a', P', y', a", ^", y"; cette relation, qui sera démontrée plus loin, est la suivante :
Si l'on y porte les expressions (19) de nos six cosinus et que l'on pose, pour abréger.
42=pn/>' + /'") + ^M/>
'dp" .,dp'\ , ,dp'-- , ^^„dp'
dt
f'tJ^-^P-dl^^P Vdi^-dû^ '
dp' dp"
„dp dp"\ „ dp^ dp"'- , [dp" dp
dt p-dFKP d^ -"-p in^-^p' l^+ dt ' '
f^P' „/ dp
dt
dp'''- , dp^ ,, (dp dp'
P^--^P'tr--'-P \Tt^ dt
UECIIKIICIIES i)i: LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. l35
on ti'ouvera, après un calcul assez long que l'on dirigera de manière à ordonner par rapport à v, v\ v" et aux produits de ces quantités deux à deux,
i ( ç' V" + V" V + iH>' ) {p'p" -+■ p"p +pp') — {çl-\-v'l'-^ V" 1" )
( i6 V^ dt dt dt dt dt dt ) '
les expressions (21) de 2, 2' et 2" contiennent p au premier et au second degré; donc l'équation (B) est une équation du quatrième degré en p, dans laquelle f ne figure pas.
Les quantités/;,/?', /?"sont données en fonction de r, r',r"par les formules (i3); V, v\ v peuvent être exprimés à l'aide de i\ r', r" et de leurs dérivées premières et secondes au moyen des formules(i4) et (1 8)entre lesquelles on devra éliminer/t-, II!' et u!'-. Donc on connaîtra finalement l'inconnue auxiliaire p en fonction , , „ dr di^ di^ d^ d^' d^
Remarque. — La première des formules (21) peut s'écrire
mais on trouve, en remplaçant/?,//, p" par leurs expressions (i3),
(22) p'p" -+-p"p + pjy .= {{,■ + /•'+ ;•")(/• + /•' -/•")(/• - /•'+/•") (— /• + ;•'+/•") =: tj^
0- désignant le double de la surface du triangle formé par les trois corps; il vient donc
cela prouve que les quantités S, Z' et L" sont essentiellement positives.
46. Ditrérentions la première des formules (i5) par rapport au temps, et remplaçons les dérivées secondes de ^'',./, =■', oc% y", z" par leurs valeurs tirées de (2) et (3); nous trouverons
^^ = (m + m'+ m") {x'x" + y'f-rz'z") (^ - ^)
, fxx" ^yV'^zz" x' x" ^ y' y" -i- z' z" a;"'-h y"'-\- z"^\
-'"^'[ f. + -ii + JM )
„ [ xx' -^ yy' -{- zz' x"" -h y' ■' -^ z' ■' x' x" -h fy" -h z' z" 4- /n '- H -r; h -},i
l36 CHAPITRE VlII.
OU bien, en ayant égard à la définition des quantités p et ^,
r=L — ( m -+- m' H- m" ) pg + m' (— p' q' A- pq) + m" (— p" q" -hpq),
( C ) ;^ "+" /«/?7 + /«'/>' </' + /n"p" q" =zo.
Cette équation, qui joue aussi un rôle important dans la théorie de Lagrange, donne -~ en fonction de r, / et r".
at
Nous allons chercher maintenant à déduire des intégrales (6) des aires une combinaison qui ne contienne que les distances mutuelles et leurs dérivées; élevons ces équations au carré, ajoutons-les, et posons
nous trouverons
n n' n" iw ^w iw
(20) —1 H n-^ n-^ r-/7 H TT- H 1 = f^\
m^ m- m'- min m ni mm
OÙ nous avons fait, pour abréger,
^ [ dz dvY [ dx dz\- ( dv d^Y
^^yy-d-t-'it) '^['dj-'^di) -^y'^t-^-dï)'
dt " dt JV dl "' dt j ' V dt dl J \~ dl "^ dt
^ dl -^ dt J\ dt -^ dt
les valeurs de H', II", W et ^F" s'en déduisent par des permutations d'accents. Les expressions de II et ^ sont susceptibles de la transformation suivante
dt)
TT / 9 9 ox (dx"^ dy^' dz^\ ( dx dy «^ v
^ - -^ ' \dt dt dt dt dt dt )
( ,d^ ,dy^ ,d^\{ „dx' „ dy „ d^ "V dt '^y ^"^^ dt)V dt "^-^ dt'^^ ~dt
RECHERCnES DE LAGR.VNGE SUR LE PRORLÈME DES TROIS CORPS. l'^J
en ayant égard aux formules (/j), (7), (i 1) et (16), et aussi à la relation
da;' dx" dy^ dy" dz^ dz^ __ 11^ — u''^ u'"^ __ ^ dt dt dt dt dt dt 2 ~"
déjà rencontrée, on peut écrire encore autrement les expressions ci-dessus de n et de T.
On trouve finalement
, dr'^ I I do'^
dr"^ 1 I do"^
t/f^ ^ 4 k dt-
Avec ces valeurs, la formule (25) devient
ni-
fl'^2 / ,„'2 \ dl'^ m"' \ dt
^ ' I m m \ 4 «^ / m m y 4 «^ / mm' \ 4 "^"
f /« 4- /?i' -h wi" , , ,
1 2 wm wi '
Le premier membre de cette équation peut être exprimé à l'aide de/% r\ r" et de leurs dérivées premières et secondes ; il en est de même des expressions ( 27 ) de n, . . . , W".
