Nous allons résumer l'état de la question

Les quatre équations à retenir sont (A), (B), (C) et (D); il est entendu une fois pour toutes que les quantités p, p' , p", a-, u'"^, a"'-, v, v' , v" , £, 1/ , 2" sont exprimées en fonction de r, r', r" et de leurs dérivées des deux premiers ordres à l'aide des formules (i3), (i4). (18) et(2i); après quoi l'équation (B) donne p exprimé en fonction des mêmes quantités.

Le problème est ramené à l'intégration des trois équations différentielles simultanées (A), (C) et (D), où les inconnues sont r, f , r"; les équations (A) et (D) sont du second ordre ; elles contiennent les deux constantes h et k; (C) est une équation du troisième ordre.

Ainsi, tes distances mutuelles des trois corps dépendent d' un système de trois équations différentielles simultanées ; deux de ces équations sont du second ordre, et la dernière est du troisième ordre.

L'intégration de ce système amènerait sept constantes arbitraires; en y joiï. - L 18

l38 CHAPITRE VIII.

gnant les deux, h et k, qui figurent déjà dans les équations différentielles, on voit que les expressions les plus générales de r, r\ r" , en fonction du temps, contiendront /lef//" constantes arbitraires. En supposant cette intégration faite, on aura à introduire deux éléments pour fixer la position du plan des trois corps, et enfin un dernier indiquant l'orientation du triangle dans son plan. On aura bien ainsi introduit les douze constantes arbitraires dont doivent dépendre les mouvements relatifs de deux des corps autour du troisième. Pour cette dernière partie de la solution, on se servira, bien entendu, de deux des trois intégrales (6) déjà connues, dont on a utilisé une seule combinaison représentée par la formule (D).

/?e/72«r^we. — L'équation (B), qui est du quatrième degré en p, manque, comme nous l'avons dit, du terme en p^; si donc, dans les termes en p^ et p', on remplace p^ par sa valeur tirée de (D), cette équation (B) donnera p par une formule du premier degré. Cette remarque a été faite par M. R. Radau dans un Mémoire publié dans le tome 111 du Bulletin astronomique, p. ii3; ce Mémoire contient d'autres résultats intéressants. Les formules principales de Lagrange y sont obtenues d'une manière très directe; nous y renverrons le lecteur.

48. Pour arriver plus rapidement au but, nous avons laissé décote des formules qui, sans être indispensables, peuvent être cependant utiles; nous allons les démontrer ici.

On a, en partant de la définition (7) de u,

\ <1ll-

fhr rl^-.T dy d^y dz d- z

2 dt

~~ dt dt' ' cit dt- ' dt dt^ '

en remplaçant les dérivées secondes par leurs valeurs tirées de (i), et ayant égard aux formules { ^1), (12) et ( iG), on trouve aisément

du^ , , „' r ri idp' d/j"\ I / d,/ \ r , dr/ \1

d'où la première des formules ci-dessous,

du- , „ /• / „ dp" , dp'

dt ^ ' dt y dt ' dt ^ '

' r= -2 (/// -+- /// + m') -y- -V m' [q -J- —q -jj- — cj 0

dt '^ ' dt y dl ' dt

du"'- , , „/ 'r" „ f , dp' dp

KECIIERCUES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. I Sg

multiplions ces équations par dt, intégrons, et portons les valeurs de w-, u'-, a"-, qui en résultent, dans les formules (i4); '' viendra

il d- r'^ m ~\- m' -h m" f ,, „ , , /*/ ..dp" .dp' \ , " 1

i + tn' -t- jh" „[ , , C ( I dp' dp „ \ , n

2 dt-

ce sont les formules que nous voulions obtenir; si on les différentie, on fera disparaître les signes /; les équations différentielles ainsi obtenues, bien qu'étant d'un ordre plus élevé, ont été très utiles à M. Lindstcdt dans son important Mémoire Sur la déterminalion des dis lances mutuelles dans le problème des trois corps (^Annales de l'Ecole Normale, 3^ série, t. I, p. 85).

49. Supposons que l'on ait résolu le problème restreint, c'est-à-dire que l'on ait déterminé r, r', r" en fonction de t et de sept constantes arbitraires distinctes de h Qik-, nous allons montrer comment on pourra calculer oc' ,y' , z\ x'\y'\ z" .

Commençons par donner une interprétation mécanique simple et bien connue des formules (6) :

Considérons trois points matériels P, P', P" ayant respectivement pour coordonnées, rapportées à une même origine 0, £f, j, z\ x\y\ z' \ x" , y" , z" \ appliquons à ces points des forces F, F', F" dont les composantes parallèles aux axes soient

par le point 0, menons trois forces S, S', S" respectivement égales et parallèles, mais de sens contraires, à F, F', F". Les forces F et S forment un couple; il en est de même de F' et S' et de F" et S". Ces trois couples se composent en un seul dont l'axe est une certaine droite OH et le moment G. Les équations (6) pourront s'écrire

Gcos(HO^) = «, Gcos(IIOj')~^j Gcos(HO~) — c;

d'où l'on conclut, en se rappelant qu'on a posé a- -\- Ir -^ c* = U^ :

G = A-; cos(HO.r)=|, cos(HOj)=:^) cos(HOi) = ^'

I dx

I dy

T dz

in dt

m dt

I dx'

I dy'

I dz'

m' dt '

ni' dt

m' dt '

I dx" m" dt '

I dy" m" W

I dz'\ m" dt '

On voit donc que la droite OH reste invariable pendant toute la durée du mouvement; si nous la prenons pour axe des z, nous devrons avoir HÔ-* IfOj, |40i

cos{Çi»:f) = o, cos{OJtiy) = o, cos(QH^) = i; donc

b =zo, c z^ k,

et les formules (6) deviendront

m \/ djt

dt m' V dt

dx m\~ dt dt

dx'

m' y" dt

I / dv dx

m\ dt

,dy'

dt -^ dt

''' dt ) "^ m"^^" ^^

,dz' dt

.dx'

dj^ ~dt

I / „ dx" ^V dt

I / „df m" \ dt

.„ df\ ' dl

„ dx" dt

Multiplions ces équations respectivement par y' -j- — ^'-j-> ^' '~J~ ^ ^ ~1~'

dv' dx'

^' ~^ ~ y ~jf ^t ajoutons. En ayant égard aux formules (26), nous trouverons

',dy

, dx'^

d"" dv"

nous aurons de même, en employant maintenant les facteurs j"-^^ — ^'~T~' '*"' /ooN ^' , w n" , / „dy' „dx"\

m m' m" \ dt "^ dt J .

Ajoutons maintenant les équations (3o) après les avoir multipliées d'abord par ^',y, z', puis par ^", y", z"; nous obtiendrons ainsi des expressions de kz' et de ^5" dans lesquelles les coefficients de — ? -^5 -^ seront représentés par

des déterminants qui se déduiront aisément, en ayant égard aux relations (5), des suivants :

dy dt

dz dt

dx' dt

dy'

dz' dt

dx" ~dt

df dt

dz" 'dt

On trouvera, en effet, (34)

kz'= --^»

kz":

Nous allons montrer comment on calculera les quantités §, ù' , ù".

RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PRORLÈME DES TROIS CORPS. l4l

50. L'expression (33) de o peut s'écrire, à cause des formules (5),

dx dt

dy dt

dz dt

en combinant cette expression avec celle de S', on trouve

dt dt

dx"

dy" dt

dz" dt

on vérifie aisément, toujours en s'appuyant sur les relations (5), que le dernier déterminant écrit est égal à û". On a donc cette formule importante

On peut d'ailleurs trouver directement les valeurs de §, S', <$", en élevant au carré les déterminants (33) par la règle connue et ayant égard à des relations obtenues antérieurement; il vient ainsi

I / dp"

i f d//\ dr

2V'^'~dt) ^ dt

Développons ce déterminant et rappelons-nous la formule (22); nous trouverons sans peine

dr'- dr „ dp" f , dp"-^ ( „ dr \ , dp" \ i ,

En remplaçant r^^"^ par sa valeur

22 /v i „(ip' ,dp"\ ,ffp"- „dp"- (dp' dp"

'^ =^^^'^^p ~dF -P dï)-p i^ - P iï^ -pi Sr -^ -^

dt dt

l42 CUAMTRE Vil t.

tirée de la première des équations (21), on trouve, après réduction, la première des formules suivantes :

(36) èr=^/aUi'-l, è'^sJaUr--!', è" =s/<:y-' u"^--l".

On aura donc ainsi §, S', §" en fonction des quantités connues; mais il faut associer convenablement les signes des trois radicaux du second degré, ce qui peut se faire de la manière suivante : la formule (35) donne

2Ô0 =rO^ — 0 ■* — 0 -*,

d'où, en remplaçant dans le second membre o^ 0'^, 0"- par leurs valeurs (36),

\ de môme,

Les seconds membres de ces équations sont connus en grandeur et en signe ; si donc on se donne le signe de S, on en déduira les signes de 0' et de 0"; si l'on venait à changer le signe de (5, ceux de S' et â" changeraient aussi, et les formules (34) montrent que cela reviendrait à changer le signe de la quantité k dont le carré seul figurait dans (D).

En combinant les formules (35) et (36), on trouve

(38) \/ff2 m'- — 2 + y/ff' «'2 — 2' -h s/a^ i/" —T' — o ;

on vérifie aisément qu'en chassant les radicaux on retombe sur l'équation (B) dont on a ainsi une forme intéressante.