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UECHERCIIES DE LAGKANGE SIR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. l43
les quantités V et Y" pourront être considérées comme connues; cela posé, les formules (3i) et (32) pourront s'écrire
, dy' , dx' ,1 dy" „ dx"
"" 'dt~'' ~dt V "" 'II ~'^' "dt V"
Si donc on fait
( ^"— ^/•"2-"2cos9% j"=zv//-"^ — c."2sino",
on aura
d^ __ \' do" V'^
d'où, en intégrant et désignant par £„ et £, deux constantes arbitraires,
1 Cp' = £o — £,+ T / -7^ ZT^fit,
les formules (F) et (G) feront connaître oc', y, x'\y" ,
Les valeurs de x' ,y , z' , -v",/', z" qm viennent d'être déterminées doivent vérifier la relation
(4o) x'x"-^yy''i-z'z" = — p;
si l'on applique cette relation à l'époque zéro, on trouve
4/,.'2 -'2 4//-"2 a»"2pn(5 0P '' -" I ' 0 ^^ ' 0 ' 0 ,
ce qui donnera la constante £<, exprimée en fonction des neuf constantes arbitraires qui figurent dans les expressions de r, /, r" ; £, n'est donc pas une nouvelle arbitraire; il n'en est pas de même do £„ qui reste quelconque; mais les formules (G) montrent que l'on peut supposer cette constante nulle en faisant tourner d'un angle convenable les axes des x et des j dans leur plan.
Enfin, si l'on prend un nouveau système d'axes rectangulaires tout à fait quelconques, on passera des coordonnées relatives x",y, z", —x', — y, — z' des corps C et G" aux coordonnées rapportées aux nouveaux axes, en introduisant les trois angles d'Euler qui doivent être considérés comme trois nouvelles
l44 CHAPITRE VIIT.
constantes arbitraires qui, s'ajoutant aux neuf du problème restreint, donneront le nombre voulu de douze arbitraires.
Si l'on porte dans la formule (4o) les valeurs (F) de x',y, x" et y", on obtiendra immédiatement, et sans intégration, la valeur de 9"— 9'; on aura ensuite
<p' + Cp = 2£oH- y,.
on voit donc que, si le problème restreint est supposé résolu, on n'aura plus à effectuer qu'une quadrature. Nous avons dit qu'il reste sept intégrales à trouver dans le problème restreint; c'est donc à sept intégrales et une quadrature, au lieu de huit intégrales comme dans la méthode usuelle, que Lagrange ramène la question; on peut dire qu'il a fait faire un pas vers la solution.
52. Il nous reste à démontrer la formule (20); nous ferons connaître en même temps la manière de calculer à une époque quelconque les positions des plans des orbites décrites par les corps C et C" autour de C.
Revenons à lay?^. 17, et posons
LM'=r, LM":=r, M'N' = ^-\ M"N" = ^", M'LM"=rJ.
Si nous appliquons la formule fondamentale de la Trigonométrie sphérique aux triangles M'LM", N'LM", . . . , nous trouverons
a' z= cosM'M"— cosC'cosÇ"4- sinÇ'sinÇ"cosJ,
[3' = cosM'N" = cosÇ'cos(Ç"4- ^") + sinÇ'sin(r + g") ces J,
y' =r cosM'N' = cos^';
a"=cosN']N"=cos(Ç' + ^')cos(r+^") + sin(C' + ^-')sin(r + ^")cosJ, (3" = cosM"N' = cos(Ç'+^') cosÇ"+ sin(C' + ^') sinÇ" cos J, y" — cosM"N"= cos^".
En éliminant entre ces six relations les cinq quantités V , X^\ g', g" et J, on aura la formule cherchée.
Nous poserons
1cosÇ'cosÇ"+ sinÇ'sinÇ"cosJ = >., sin^cosÇ"— cosC'sinÇ'cosJ =:>.,, cosC sinÇ"— sinC'cosrcosJ = >.2,
sinÇ' sin Ç" + cosÇ'cosC"cosJ = >.3,
ce iqui nous permettra d'écrire ainsi les formules (4i)
a' = X, (3' = >lC0S^"— XjSin^", y'— cos^';
a" = \ cos^' cos^" — X, sin^' cos^" — \ cosg-' si n g" -+- 13 sin ^' sin ^'' ;
(3"=Xcos^' — >., sin^^', y"--= cosg".
RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PRORLÈME DES TROIS CORPS. l45
On peut résoudre par rapport à X, >.,, 1.,, X.,, cos^' et cos^"; on trouve aisément
(43) i=a', ).,=^;i:^', 1,^"^-^', v-^'-yz-p'/^-^'/y-
Or les formules (42) donnent
/ (i + cosJ) cos(r — O = X -^ X3, I (n-cosJ)sin(r-C')=A.->.„ j (i-cosJ)cos(C"+Ç')=?^ -A3, \ (i — cosJ) sin(Ç"+Ç') = X2+>i,; d'où
(l + C0SJ)2=: (X + Xa)^ + (>2 - Xi)', (I - COSJ)^ = (X - Xs)^ + (X2 + X, )^
