Les formules (45) et (47) donnent d'ailleurs
COSj— r r- .
s/(i-y'^)(i-/^)' d'où, en ayant égard aux valeurs de a', ^', y', a", p", y", obtenues au n° 44,
cos J
l46 CHAPITRE VIII.
OU encore, à cause des formules (27),
COSJrrr
v/nn'
On tire ensuite des équations (42)
r- + 11 = cos^Ç' 4- sinH'cosM — i — sin^Ç' sin-J ; sinMsin-^r^i-X^-).^,
sin-J sin^C" = i — X^ — Àj.
En remplaçante, X, et X^ par leurs valeurs (43), il vient
d'où
et de même
sinJ sinC
sinJsinÇ'= ^^ ,— * ■ — —■
Si l'on élève au carré l'expression (33) de S', et qu'on introduise les éléments de la^^. 17, on trouve
,.V2 —/•'/■" cos M' M" — w'/'"cosM"lN'
/•'/•"cosiM'M'' r'^- «'/-'cosM'N'
m'/"cosM"N' f^'/'cosM'N' a'2
d'où
^'^—r"-r"Hi'-'
OU encore, en tenant compte de (36),
La seconde des formules (48) donnera donc
sinJsinÇ"
RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. l ^']
on trouve ainsi, en introduisant les quantités ïl' et II",
sinJsinC j= — :
sinJsinÇ =; j=z.
/•'Vn'
La formule (H) fait connaître l'inclinaison mutuelle J des grands cercles M'N' et M"N" qui représentent les plans des orbites de C" et C autour de G, et les formules (K) donnent les distances angulaires 'C = LM' et l" = LM" des corps G" et G' à l'intersection mutuelle de leurs orbites relatives.
En résumé, la solution de la seconde partie du problème est fournie par les formules(E), (F), (G), (H), (K).
54. Le problème des trois corps peut être résolu complètement dans le cas particulier où leurs distances mutuelles conservent des rapports constants pendant toute la durée du mouvement.
Soient A, A', A" trois constantes et ^ une nouvelle variable, on aura
9'=fs'
en posant, pour abréger,
2/Z— A-hA A, V— AS 4/35
d'où
( y' + y" = k\ /Jl" + /JL = A'■^ fJl + fJL' = A"^
L'équation (G) donne
dp mfjiv 4- m' [x'v' -+- m" |ut"v"
i48 d'où
dt
Po désignant une constante arbitraire et I ayant pour valeur
I = 771 \IV + 77l' II' -j' + 77l" [Jl" v".
On trouve maintenant que la première des équations (28) devient
A r* a"y" — a'y' dl , mv f , P dl\
si l'on multiplie par dt cette équation et les deux autres analogues, qu'on les intègre et qu'on désigne par x,, x'^ et x'j trois constantes arbitraires, on aura
, ' I ,„ Il
771 + ni' -\- 771" ul'v' — u."v"
' 1 mil
p." v" — fjL y
7n -\- 7n' -\- m"- ,, av — u.' y'
dt Y^^ dt + /nz,,
dt
Portons ces expressions de u^, u'^ et u"^ dans les formules (i4)» et nous trouverons
1 d^l^ m [ I + ( fji^'— [iJ'v" ) A ] + m^+ «1
( 54 ) ( I 0?^ 1^ A/i 4- /w' [ I --H ( fi-^y" — fjL y ) A'] 4- //i" m
2 "dT^- ^ Â^?| - ^-^
I «?^ ^^ 771 -\- 77l' H- /?i" [ I + ( ]j..y — fJi-' v' ) A"] /?i
! my / P° V ^
/Po — ij
dt 7-r^ =: O ,
dt
Ces équations doivent être identiques. On en conclut que l'on doit avoir les conditions
/w[n- (jjl'v'— fjL"v") A] H- m'H- tti" m ■+- m'[i +(]jl"v"— f/y) A']
m + m'+ m"[i 4-(|^v — fJi-'v') A"]
RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. 1 ^g
et
mv ni'v' m"v"
à moins que l'on n'ait
(58) Po=o et I=:o;
de là deux solutions suivant que l'on considérera le système (55), (56), (Sy), ou l'autre (55), (57)et (58).
55. Occupons-nous d'abord du premier. Les formules (56) donnent
mv m'v' m"v" v + y' + v"
on a donc
ainsi les trois corps forment toujours un triangle équilatéral; on peut faire A = i et prendre ^ — r', et, si l'on pose
m Xj = m' x'j =: m" •/