PS
On tire d'ailleurs de (6o) et (6i)
(62) /-'^ -dûi=' \^ V V - 3 P"'
d'où
(63) dt ''''^'''
On a ensuite
t / — X /-'^ + 2 ( w + m' H- m" ) '"' — i po 3 I / dr'^\
quantité nulle d'après (6i) et-(4ï!fy; on aura de même
d'où, par les formules (E),
ainsi les mouvements relatifs de C et C" s'effectuent dans un plan fixe. En continuant à appliquer les formules générales, on trouve
dr'- I TT'— II"— ii''^r''^— r'^ —— — - o^
et il en résulte, d'après (G),
^ ' dt dt 6 k \m m' m"
Enfin l'équation (D) donne
ni^ m'^ m"^ ini' m" im" m 7.inm
nntmlm" "o \ ,„2 fr)'2 /«"2 n ni' m" o m" m oirtm' I \ dt
RECHERCHES DE LAGRANGE SUR LE PROBLÈME DES TROIS CORPS. l5l
o dr'^' I •>
et l'on en tire aisément, en remplaçant r'^u- — f' -jjt P^ï" 3 Pô»
moyennant quoi (64) donne
on a d'ailleurs et, si l'on pose
dt ^y
^, __^ m-i-m'-i-fn" ^ ^,^^^ ,^ ^ pi
les formules (G3) et (64) donnent
-, dr' n'dt=.
dt
Il en résulte que C" décrit autour de C comme foyer, conformément à la loi des aires, une ellipse ayant id pour grand axe, n' comme moyen mouvement et é comme excentricité.
La trajectoire de G' est une ellipse égale à la précédente, qui aurait tourné de
l'angle -^ autour de C.
Il convient de remarquer que les vitesses initiales relatives ù^ et li!^ de C" et C
doivent être égales et faire entre elles un angle égal à -^•
56. Considérons maintenant la seconde solution qui sera fournie par le's formules (55), (57) et (58); on tire de (52)
p = o et
(66) mjjtv + /n'/jL'v'+ /n"/ji"y" = o;
ainsi l'inconnue auxiliaire p, qui était constante dans le premier cas, est nulle dans le second. La formule (66), dans laquelle on remplacera les quantités (jt.
et V par leurs valeurs (Tjo), donnera une équation de condition qui devra être remplie par les masses m, m' , m" et les constantes A, A', A". La première des équations (55) peut s'écrire
„^f\ I \ ix'v'—ll"v" nv-ll"v"
^m + m'+jn")i^--jr^)-\-fn^ ^, r^ rn' ^ ^^ =o ou bien, à cause de (5o) et (5i),
ou, en réduisant,
ou encore
mix' — H- m' ix —r. \- m" v" = o
' /J.' H- /Jl" "^ ]Jl" + fJL
On arrive aisément à mettre cette relation sous la forme
( ix' ix" -i- ix" ix-\- ixix' ) ( m y + m'v' — m" y" ) — fi." ( m [xv + m' [x'v' + m" ^" y " ) — o ;
à cause de la formule {^'o), cela se réduit à
( /jl' ix" + |jl" jjL 4- ix^x' ){mv -i- m' y' — m" y" ) == o.
Si la quantité [^'{f-" + P- M-+ H^P^' n'est pas nulle, la formule précédente et celles qu'on en déduit par des permutations d'accents donneront
m V -h m'v' — ?7i" v" = o, Jti' v' + m" v" — mv ■= o, m" v" + m y — m' y' = o,
d'où
y=:y'=y"=ro;
on rentrerait ainsi dans le premier cas. On doit donc avoir
/jl'/jl" 4- ]ji"|ji 4- jUL/ji' = o ;
si l'on remplace [jl, ]x', [x" par leurs valeurs (5o), on trouve
On devra donc avoir l'une des relations
A±A'±A"=o, d'où
r±r'±r" = o', ce qui prouve que les trois corps resteront constamment en ligne droite.
