I -+- e cos V or
On aura donc
- = - H — cos(» — w); r P P
Si l'on porte ces valeurs de - et de -^ dans la formule (i), elle devient
p /** ou bien
en posant
Or, pour une même planète, m, c et p sont des constantes; donc la force qui relient une planète dans son orbite varie en raison inverse du carré de la distance de cette planète au Soleil.
On voit que les deux premières lois de Kepler nous ont fourni des résultats importants; adressons-nous maintenant à la troisième loi. Soient a et b les longueurs des demi-axes de l'orbite de la planète P, T la durée de la révolution de cette planète sur son orbite; l'aire de l'ellipse étant égale à r^ab, l'aire décrite
par le rayon vecteur r dans l'unité de temps est égale à -^.- ; on aura donc
On a du reste il en résulte
En considérant le mouvement d'une autre planète P' autour du Soleil et désignant pour cette planète par R', r', m , ]x\ a', T les quantités analogues à R, r, m, \k, a, T, on aura
inab
ni' \x!
Or la troisième loi de Kepler nous fournit la relation
il en résulte et
Ainsi [X est le même pour toutes les planètes, et la loi de la force R' rentre dans celle de la force R; nous arrivons donc au résultat suivant :
Soient P l'une quelconque des planètes, m sa masse; dans chacune de ses positions f elle est sollicitée vers le centre du Soleil par une force dont l'expression
est —£) [X désignant une constante commune à toutes les planètes.
Si nous considérons que les positions occupées successivement par la planète P sont comprises entre deux cercles concentriques de rayon a{v — e) et a(i 4- e), de même que celles de la planètç P' sont comprises entre les cercles de rayons a'(i — e') et a'(iH-e'), ..., nous sommes conduits à admettre que, partout où se trouvera une molécule matérielle M, de masse m, située à la distance r du centre S du Soleil, elle sera nécessairement soumise à l'action d'une
force dirigée suivant la droite MS et ayant pour expression ^•
2. Après être arrivé au résultat précédent. Newton s'est proposé la question inverse :
Un point matériel de masse m est soumis constamment à l'action d'une force dirigée vers le centre du Soleil et variant en raison inverse du carré de la dislance : trouver sa trajectoire.
On voit, par raison de symétrie, que la trajectoire doit être plane, son plan étant astreint à passer par le centre du Soleil et par la vitesse initiale du point
matériel. Soit R = ^ la force donnée; on aura, par la formule (i).
d'où
I ij.
On en tire, en intégrant et désignant par e et w deux constantes arbitraires,
!;-^2 = 3^cos(^-w),
I + ecos(Ô — w)' donc la courbe est une section conique ayant le point S pour foyer.
Remarque. — On peut supposer e ]> o ; car, si la constante e était négative, on la changerait en une autre égale et de signe contraire en remplaçant dans l'équation (2) w par 0) H- 7:.
Demandons-nous si l'on peut disposer des données initiales de manière que la trajectoire soit l'une quelconque des trois sections coniques.
Soient Go et r^ les valeurs initiales de 6 et de r pour t =■ i^, V^ la valeur initiale de la vitesse du mobile, et 7]^ l'angle que fait cette vitesse avec le prolongement du rayon vecteur. On a, par les formules connues de la théorie des forces centrales.
VoSinrio=— > '7
On en conclut, en ayant égard à l'équation (2),
e sin(ôo— w)= — 2 /-osinyjoCOSTno, - /. , ^ ^^^r
I ecos,{9o— 0)) = —^r^sm^-no— i;
ces équations déterminent sans ambiguïté les constantes e et cd; e est l'excentricité de l'orbite, comme le montre l'équation (2), et w est l'angle polaire qui correspond au périhélie; — est égal au paramètre p ou à
on aura donc {vmVMBBÏTi)
(4) a(i-e')=-f/'sin»Y)..
En élevant au carré les équations (3) et les ajoutant, on trouve
e- = —^rl sin^rjo H- i r^ sin^r/o,
-e^ = ^rlsmHi,(^^-\f^;
la trajectoire sera une ellipse, une parabole ou une hyperbole, suivant que la valeur de i — e^ sera positive, nulle ou négative; si donc on a
V5 < -^-j la trajectoire sera une ellipse;
V^ = -^, » » parabole;
V^ > ") » » hyperbole.
On voit que le genre de la section conique ne dépend que des données initiales To et Vo et nullement de Y]o.
La formule (4) donnera ensuite, avec la valeur ci-dessus de i — e^,
le grand axe de l'orbite est indépendant de yjo.
3. Orbites des comètes. — Kepler avait négligé d'étudier les mouvements des comètes, sans doute parce qu'il attachait une médiocre importance à ces astres qu'il considérait comme des « météores engendrés dans l'éther «. Newton voyant que, sous l'influence de la force considérée ci-dessus, un point matériel peut décrire autour du Soleil, non seulement une ellipse voisine d'un cercle, comme le sont les orbites des planètes, mais une ellipse très allongée ou même une parabole, Newton, disons-nous, fut amené à penser que, comme les planètes, les comètes décrivent des ellipses dont le Soleil occupe un foyer, toute la difl'érence consistant en ce que les orbites planétaires sont peu excentriques, peu inclinées sur l'écliptique, tandis que les comètes décrivent des ellipses très allongées et situées dans des plans quelconques. On s'expliquera ainsi pourquoi les comètes ne sont visibles que pendant un temps limité; c'est le temps pendant lequel elles sont assez voisines à la fois et du Soleil et de la Terre pour que leur éclat permette de les apercevoir.
On sait que la parabole est la limite d'une ellipse ayant même sommet et même foyer, et dont le grand axe augmente indéfiniment; il en résulte que, dans le voisinage du périhélie, l'orbite d'une comète, supposée elliptique et très allongée, différera fort peu d'une parabole ayant le Soleil pour foyer. Newton fut donc amené à penser que les orbites des comètes peuvent être considérées comme paraboliques. Il eut bientôt l'occasion de mettre ses idées à l'épreuve : le \L\ novembre 1680 parut une comète qui se rapprocha rapidement du Soleil et disparut dans ses rayons le 5 décembre. Le 22 décembre suivant, une comète très brillante apparaissait de l'autre côté du Soleil. En calculant les observations des deux comètes. Newton démontra qu'elles ne formaient qu'un seul et même astre; elles avaient décrit chacune un arc d'une même parabole.
TOT DE LA GRAVITATION UNIVERSELLE. 3l
On a observé depuis un nombre considérable de comètes paraboliques; pour chacune d'elles, le centre du Soleil coïncide avec le foyer de la parabole et le rayon vecteur décrit des aires proportionnelles aux temps. Donc chaque comète, dans l'une quelconque de ses positions, est soumise à une force R dirigée vers le
Soleil et ayant pour expression
„ mc^ I n=: -'
Si l'on compare aux quantités c ai p les quantités c' et/>', c" et/?", ..., qui correspondent à d'autres comètes, on constate que Ton a
de plus, la valeur commune de ces rapports est égale à la quantité correspondante
commune à toutes les planètes.
Nous retrouvons donc la même loi d'attraction R = ^, où \k est une constante pour tout le système planétaire, et nous sommes en droit de considérer le centre du Soleil comme le foyer d'une force attractive qui s'exerce dans toutes les directions, sur tous les corps, proportionnellement à leur masse et en raison inverse du carré de la distance.
On voit quelle force les comètes apportent à cette démonstration : à l'aide des planètes, on ne pouvait démontrer l'existence de l'attraction que pour des points situés dans le voisinage de l'écliptique; les comètes, au contraire, sillonnent l'espace dans tous les sens et, partout où elles pénètrent, elles nous montrent la même loi d'attraction qui les accompagne.
4. Pour passer de la loi d'attraction exercée par le Soleil à la loi de la gravitation universelle, il restait un pas difficile à franchir; voyons quelles sont les idées qui ont guidé Newton dans cette voie.
Les observations démontrent que les satellites obéissent à très peu près aux lois de Kepler dans leurs mouvements autour des planètes. Considérons, par exemple, Jupiter et l'un de ses quatre satellites; nous désignerons par m^ la masse de ce satellite et par ;•, sa distance au centre de Jupiter. On déduira des deux premières lois de Kepler concernant le mouvement relatif de ce satellite que, dans chacune de ses positions, il est soumis à l'action d'une force R, dirigée vers le centre de la planète et ayant pour expression
*^i — "^râ —
On démontrera l'existence d'une force analogue pour chacun des trois autres
satellites, et, en partant de la troisième loi de Kepler, on prouvera que [Ji, est le même pour les satellites. Voilà donc le centre de Jupiter qui est le siège d'une force analogue à celle que nous avons reconnue dans le Soleil; les deux forces suivent la même loi : il n'y a de différence que pour les constantes [jl et [x, .
On peut en dire autant de toutes les planètes qui ont plus d'un satellite, savoir de Mars, de Saturne et d'Uranus; pour les planètes qui n'ont qu'un satellite, la Terre et Neptune, on ne peut appliquer que les deux premières lois de Kepler. On démontrera donc seulement que le satellite, dans chacune de ses positions, est soumis à l'action d'une force R< dirigée vers le centre de la planète et ayant pour expression
m,fz,
Si l'excentricité de l'orbite du satellite était très forte, r^ varierait dans des limites très étendues, et il serait bien démontré que la planète exerce une attraction variant en raison inverse du carré de la distance; mais, si l'excentricité est petite, et c'est le cas, les deux premières lois de Kepler ne permettraient guère de trouver la loi de variation de la force; elles prouveraient seulement son existence et permettraient de calculer son intensité moyenne.
Il convient ici de faire une remarque au sujet des mouvements des satellites.
PM
Soient {fig- 2) S le Soleil, P Jupiter, M l'un de ses satellites : le rapport -p^r-
Fig. 2.
étant très petit, les droites PS et MS peuvent être considérées sensiblement comme égales et parallèles. La force R = -^> émanant du centre du Soleil, doit s'exercer sur P et sur M. D'après ce qu'on vient de dire sur les droites PS et MS, les forces PA et MB, appliquées respectivement à l'unité de masse de P et à l'unité de masse de M, pourront être considérées comme sensiblement égales et parallèles; ces forces auront donc seulement pour effet d'imprimer un mouvement de translation au système formé par Jupiter et ses satellites. D'après le principe des mouvements relatifs, les mouvements des satellites autour de la planète seront donc à peu près les mêmes que si la planète était immobile.
Considérons actuellement la Terre et son satellite unique, la Lune; les deux premières lois de Kepler étant vérifiées, il en résulte que, dans chacune de ses positions, la Lune est sollicitée par une force R ayant pour expression
c] I in^a] m, mi -' — = ^.p, —
LOI DE LA ghavitation universelle. 33
et dirigée vers le centre de la Terre. L'excentricité de l'orbite de la Lune étant assez petite, on peut ne considérer que la valeur moyenne de R, et y faire r, = a, : on aura ainsi
Ri
Z+Tl^a,
L'accélération moyenne correspondante à cette force sera
évaluons-la en prenant pour unité de longueur le mètre et pour unité de temps la seconde sexagésimale de temps moyen ; soit p le rayon de la Terre supposée sphérique. On a, à fort peu près, pour la distance moyenne de la Lune à la Terre,
a, = 6op; on a du reste
2 TTO := 4o OOO OOO'".
Enfin, la durée de la révolution sidérale de la Lune est
on trouvera ainsi
^ 2TZ X (39343 X 6o)2 ^
Nous sommes évidemment portés à admettre que la Terre exercerait son attraction sur tout autre corps que la Lune et que cette force suivrait la loi de la raison inverse du carré de la distance. Demandons-nous ce qu'elle serait à la
surface même de la Terre, c'est-à-dire à une 'distance du centre de la Terre
soixante fois plus petite que dans le cas de la Lune; l'attraction sera 60 fois plus
grande et l'accélération correspondante sera égale à 0^,002706 x 60 = 9™, 74* Or l'accélération moyenne de la pesanteur à la surface de la Terre est g = 9™, 82, nombre très peu différent du précédent. Lorsqu'on tient compte de plusieurs causes secondaires que nous avons laissées de côté pour simplifier, on trouve entre les deux nombres une identité absolue.
Que faut-il en conclure? Evidemment que la force qui retient la Lune dans son orbite nest autre chose que la pesanteur terrestre affaiblie en raison inverse du carré de la distance.
Ainsi la loi de la diminution de la pesanteur qui, pour les planètes accompa* gnées de plusieurs satellites, est prouvée par la comparaison des durées de leurs révolutions et de leurs distances, se trouve démontrée, dans le cas de la T. — L 5
Terre, par la comparaison du mouvement de la Lune avec celui des projectiles à la surface de la Terre.
Les forces d'attraction dont le Soleil et les planètes sont le siège ne doivent plus nous paraître aussi mystérieuses, puisque nous sommes familiarisés avec l'une d'elles, la pesanteur, par l'expérience journalière.
L'analogie nous porte évidemment à admettre que les planètes qui n'ont pas de satellites, Mercure et Vénus, sont douées de la même force attractive. Nous ferons un nouveau pas en avant par la considération suivante : le Soleil attire Jupiter et ses satellites; Jupiter attire ses satellites, cela est démontré; mais on doit admettre que l'attraction de Jupiter s'exerce à toute distance et se fait sentir même sur le Soleil ; ainsi, si le Soleil attire Jupiter, Jupiter aussi doit attirer le Soleil, et, d'après le principe de l'égalité de l'action et de la réaction, ces deux forces doivent être égales. Soient donc M la masse du Soleil, m celle de Jupiter, r leur distance, p. la constante qui figure dans la loi de l'attraction exercée par le Soleil, \k^ la constante correspondante pour Jupiter; on devra avoir
On en conclut, en désignant par f une autre constante,
}^ — \tl — f M m ~ '
jJt = fM;
ainsi la valeur commune des deux attractions réciproques du Soleil et de Jupiter
est
ïMm
les deux corps s'attirent donc proportionnellement à leurs masses et en raison inverse du carré de la distance.
Nous avons fait abstraction jusqu'ici des dimensions des corps célestes que nous avons réduits à leurs centres respectifs; mais la propriété attractive ne réside pas seulement dans ces centres : elle est propre à chacune des molécules des corps considérés. On peut le prouver pour l'attraction exercée par l'un de ces corps, la Terre; on démontre en effet que, dans le vide, tous les corps tombent avec la même vitesse. On peut diviser un corps en un nombre quelconque de fragments; le poids total est égal à la somme des poids des divers fragments; chacun d'eux, abandonné à lui-même, tombe dans le vide avec la même vitesse que le corps primitif; la pesanteur s'exerce donc sur les moindres parties des corps, et l'on doit admettre qu'il en est de même de l'attraction d'une manière générale. Ainsi le Soleil doit attirer toutes les molécules de chacune des planètes, de chacun des satellites; de même une planète doit attirer toutes les molécules du
Soleil. C'est de cette manière que Newton a été conduit à la loi de la gravitation universelle à laquelle souvent on donne simplement le nom de loi de Nevf^ton :
Deux points matériels quelconques s'attirent mutuellement, proportionnellement à leurs masses et en raison inverse du carré de la distance.
Soient M et M' les deux points, m et m' leurs masses, r leur distance; le point M est soumis à l'action d'une force MA dirigée vers le point M'; le point M', à l'action d'une force M'A' dirigée vers le point M; on a
