I . / s 1 de d(() dd dw ^ de

les expressions (2) de ^, J, ^, -^^- et ^^.

Le moyen mouvement n n'a pas non plus d'inégalité séculaire; c'est une conséquence de la première des formules (17),

qui donne 0, n^ ■= o, quand on suppose § , «o = o«

L'absence d'inégalités séculaires dans les expressions de a et n, dans la première approximation, constitue le Théorème de V invariabilité des grands axes et des moyens mouvements, théorème fondamental que nous aurons occasion de compléter, et qui sert de base aux théories des mouvements des planètes.

74. Inégalités à longues périodes. — Il nous reste à examiner ce qui arrive lorsque l'équation

(24) f/io+f'«o = o

''' iD

-î^-O'TLC^i ^X^ :

200 4^^ ^^.v.. ■ CHAPITRE XI.

est vérifiée sans que i et i' soient nuls; on aurait donc dans ce cas

c'est-à-dire que le rapport des moyens mouvements n^ et d^ serait rigoureusement commensurable . Les valeurs de n^ et rî^, qui sont liées à a^ eta„ par la formule (i6) et sa correspondante, doivent être tirées des observations; les valeurs numériques ainsi obtenues ne sont exactement commensurables pour aucune combinaison des planètes prises deux à deux. Mais il y a en revanche un assez grand nombre de commensurabilités approchées. Ainsi, il arrive fréquemment que, pour des valeurs entières convenables des indices i et i', en général peu considérables, la quantité in^-^i'rî^ est petite par rapport à n^ et n\, de sorte que la condition (24) est vérifiée approximativement.

Si l'on considère les termes du développement de R pour lesquels i et i' ont ces valeurs particulières, les inégalités périodiques des éléments, calculées par les formules (6), pourront être très sensibles, en raison du petit diviseur in^-h i' rî^ qui ligure dans ces formules.

La période T, = -. — ^^.^ , de ces inégalités sera très grande par rapport à

T2 7t t rwyf 2 7T

0 = — et T., = — j car on aura

\ riç, ) \ «'0 )

Ces inégalités, qui sont en quelque sorte intermédiaires entre les inégalités séculaires et les inégalités périodiques ordinaires, ont reçu le nom d'inégalités à longues périodes; elles jouent dans notre système planétaire un rôle très important.

C'est surtout dans l'expression de la longitude moyenne que ces inégalités sont très sensibles. On a en effet

d'où

Or les formules (18) et (23) donnent

"2 Uq J