INÉGALITÉS A LONGUES PÉRIODES
d'où, en remplaçant S,<^o paï* sa valeur (è),
3 v^ iCo
dip
%-r I cosBodty
^ 3 Y ^'CpSinDo
ce qui montre que celles des inégalités de la longitude moyenne qui proviennent de p contiennent le petit diviseur ino-h i'n'^ au carrée tandis que ce diviseur ne figure dans les autres éléments qu'à \?i première puissance.
Quand on connaîtra les valeurs numériques de n^ et ri^, il sera facile de trouver les nombres entiers i et i' , tels que îtiq -\- i'n\ soit très petit par rapport à Hq
et n[ : il suffira, en effet, de convertir en fraction continue le rapport—"-; les
nombres i' devront être pris dans la série des numérateurs des réduites, changés de signe, et les nombres i dans la série des dénominateurs. Avec ces nombres, on formera la suite des valeurs de in^ + i'n'^, et l'on verra si, parmi elles, il s'en trouve une très petite. Si, pour arriver à ce résultat, on est obligé d'employer de grandes valeurs de i et i', les inégalités à longue période correspondantes seront généralement peu sensibles, à cause de la petitesse du coefficient Cq; il s'agira du reste de s'assurer de l'ordre de grandeur de l'expression iCo
Pour la planète P', dont le mouvement dépend de la force perturbatrice R', il y aura des inégalités à longue période correspondantes.
On a, par exemple, pour Jupiter et Saturne, en prenant le jour solaire moyen pour unité de temps.
on trouve aisément
les réduites successives sont-» -> •••) et l'on a
5/i' — 2/io = 4">oi67=: —. =: — (environ).
On voit que les termes de R et R' qui sont de la forme
Ccoi{2l-5l'+kTs + k'm'-\-jQ+j'B') T. - I.
peuvent donner naissance à des inégalités périodiques très sensibles, bien que les coefficients C et C soient assez petits; leur période sera égale à environ 74 fois celle de Jupiter, soit tout près de 900 ans.
Ces inégalités sont, en effet, très considérables dans les longitudes moyennes, et la longitude béliocentrique de Saturne se trouve altérée, par ce fait, d'environ 5o'.
75. Perturbations du second ordre. — La considération des inégalités du premier ordre ne suffit pas généralement pour établir les théories des planètes; on est obligé d'avoir égard aux perturbations du second ordre, ou du moins aux plus importantes de ces dernières. Nous allons donner, dès à présent, quelques indications à ce sujet.
Considérons l'une quelconque des formules (2), celle par exemple qui donne
■y-, et écrivons-la comme il suit
at
^ =/n'F(p-h£, p' + s', rt, «', ...);
nous allons y substituer
et égaler de part et d'autre les termes du second ordre. On développera, par la formule de Taylor, l'expression
F(po+£o + ^ipo+^i£o> po + eoH-<5ipo + <5,So, «o + ^iao» «o + ^i«'o» •••)>
en négligeant les carrés et les produits des quantités §,. On trouvera ainsi, en désignant par F^ ce que devient F quand on y remplace p, £, ... par po, £0, . . . ,
On mettra dans le second membre, pour les perturbations du premier ordre, les expressions obtenues précédemment. On aura déduit du développement (20) de Ro un développement analogue pour la fonction F^; c'est de là qu'on
tirera les expressions de , % -.-^? • • • qui figurent au second membre de la for-
mule (26); il faudra effectuer les produits tels que -j^^tpo^ et les mettre sous
une forme commode pour l'intégration. Finalement, on obtiendra §2^0 P^i' "'^e quadrature; on n'ajoutera pas de constante d'intégration; on calculera de même les perturbations des cinq autres éléments.
PERTURBATIONS DU SECOND ORDRE. 2o3
Pour ce qui concerne §2?o» o" tire des formules (17) et (18)
(27) d,p, = -l'-^ f§^a,dt+'-^'^, f{à,a,fdt.
On peut aussi diriger le calcul autrement, en partant de la formule
qui se déduit aisément des relations
dp 9 , f / N ^ da 2 dR
dt dt na de
mais c'est un sujet sur lequel nous aurons l'occasion de revenir.
S'il était nécessaire de calculer les inégalités du troisième ordre, on égale-
rait, par exemple, la valeur de — j-— au produit par m' de l'ensemble des
termes de second ordre dans le développement par la formule de Taylorde l'expression
F(po+£o+âipo+<5i£o + ^2po+â2eo> •••)•
La méthode est, on le voit, des plus simples; il n'en est pas de même des calculs, qui se compliquent singulièrement avec l'ordre des perturbations. Fort heureusement, dans les théories des anciennes planètes, on n'a le plus souvent à calculer que quelques inégalités du second ordre; il y a lieu de faire toutefois une exception pour Jupiter et Saturne où le nombre des inégalités du second ordre dont il faut tenir compte est considérable; on est môme obligé d'avoir égard à quelques inégalités du troisième ordre. On doit convenir que, dans ce cas, la substitution des six éléments variables aux trois coordonnées d'une planète paraît être une source de complications; car cela augmente beaucoup le nombre des termes à considérer dans les développements où intervient la formule de Taylor.
Nous ferons remarquer que la méthode suivie, qui revient en somme à développer les perturbations des éléments suivant les puissances des petites quantités m, m', ... , ne peut pas être employée pour un intervalle de temps indéfini. Elle convient pour un certain nombre de siècles, ce qui tient à la petitesse des inégalités séculaires quand il s'agit d'un pareil intervalle; cela suffit aux besoins actuels de l'Astronomie. L'emploi de la formule de Taylor suppose, en effet, que les quantités §,Go, ^fTS^, ... S^Op, ... restent toujours assez petites pour que la convergence des séries soit assurée; or, S,G„, §,0?^, . . . contiennent des termes de la forme Am't; ces termes, qui sont petits pour des intervalles
modérés, à cause du facteur m', finiraient par grandir au delà de toute limite, et, à supposer que les séries restent convergentes, elles ne seraient plus d'aucune utilité pratique.
76. Poisson, dans la théorie du mouvement de la Lune, pour laquelle les inégalités séculaires sont considérables, a apporté une modification utile au procédé donné plus haut pour le calcul des perturbations des divers ordres; bien que nous nous proposions d'étudier ce point complètement dans le tome III de cet Ouvrage, nous croyons utile d'en parler dès à présent, et d'une manière générale.
Nous considérons toujours, pour fixer les idées, deux planètes P et P', et nous écrivons les équations différentielles sous la forme
m'0(p -f- £, B, GT, a,
dns dt
ds
— =rji'W{p-he, B, w, a,
da
dJ ~
En ayant spécialement en vue les inégalités séculaires des éléments 0, cr, £, désignons par X, [x et v trois constantes indéterminées, par 0,, xs^ et £, trois nouvelles variables, et posons
(3o) B r=zOi-\-lm' t, wz=:mi-\- [im' t^ errej + vm'^;
les formules (29) pourront s'écrire comme il suit :
-T^ =r /?i'[F(p + £1+ vm'i, Bi + l77i't, Wi + iim't, ...) — !],
dt
dsi 'dt
da dt
i'[^(p + £1 + V7;i7, Bi + lni't, Wy-\-ii.m't, ...)— f^]> = m'[W(p + £i4- vm.'/, Bi+lm't, cr, + /j.w'^, . . .) — v],
Cela posé, on peut appliquer la méthode primitive aux équations (3i) et
faire
PERTURBATIONS DU SECOND ORDRE. 2o5
en désignant de nouveau par O^,, xjs^, . . . des constantes arbitraires ; seulement, quand on développera les fonctions F, $, W, . .. suivant les puissances et les produits des §,, §2» • • •» on aura soin de ne pas faire sortir les termes 'km' t, [um' i, vm't des signes F, $, Ainsi, par exemple, on écrira
F{p + £ + vw'i, . . .)^=¥{p(,-h £o-i- vm' t, OQ-hlm't, m^-i- [im' t, ...)
"*" dT (^»Po+'5i£o) + ....
On déterminera ensuite les inconnues X, jx et v de manière que les expressions de ô, , cnr, et £, , fournies par les approximations successives, ne contiennent pas de parties proportionnelles à t.
On applique généralement le premier terme de la transformation précédante, même dans le cas des planètes. On calcule en effet le plus souvent, dans la première approximation, les inégalités périodiques en substituant dans leurs expressions les éléments £, xn, 0, t' , cr'. G' augmentés de leurs inégalités séculaires. Si, par exemple, on considère dans le développement de la fonction perturbatrice le terme dont l'argument est
D — i{nt -H £) + i'in't + t') + ^w + k'xxs' +jd +j'B',
on prendra dans les formules (22)
• TA j, — cosDo
SinDo dt = r- .J-—, 7-— -, -. T^— r-r— ; 71-1— •
i{nQ -h vni') -t- i (/io 4- vm) M- kit.m' -^ k' (x' m -^ jym' -\-f 'f i^x
11 convient de remarquer qu'en opérant ainsi on tient compte, dès la première approximation, de termes qui sont du second ordre par rapport aux masses.
Après avoir donné ces indications générales sur le calcul des perturbations, nous devrions nous occuper du développement de la fonction perturbatrice R sous la forme (4) mentionnée au commencement de ce Chapitre.
Nous traiterons cette question avec toute l'étendue désirable; mais nous commencerons par un certain nombre de recherches et d'études préliminaires, qui nous serviront à établir le développement cherché.
(i UNIVEESITY
2o6 CHAPITRE XII.
Nous aurons besoin fréquemment, dans la suite de cet Ouvrage, de certains développements en séries des coordonnées d'une planète dans son mouvement elliptique autour du Soleil.
Les fonctions ou transcendantes de ^me/ constituant la base de ces développements, nous croyons utile de présenter ici une théorie concise de ces fonctions.
