Considérons l'expression

dans laquelle E désigne la base des logarithmes népériens, ^ et ^ deux quantités quelconques réelles ou imaginaires (nous supposerons néanmoins dans ce qui suit œ réel); cette fonction peut être développée en une série convergente suivant les puissances positives et négatives de z. On a, en effet,

Z=E^'xE~^:

E' est développable en série convergente suivant les puissances de -s et E -'

l'est aussi suivant les puissances de — ;? en exceptant toutefois le cas où le module de z serait égal à zéro; on aura

on en conclura

^ -^ .^ .^id 1.2. . . a, 1 .2. . . p

Nous ferons

(I) e'H^")= 2 JK-^)^',

c'est-à-dire

Nous allons chercher les expressions générales et les propriétés principales des fonctions J/(ip) qui sont les fonctions de Bessel.

L'expression (i) ne change pas quand on remplace z par — -; nous aurons donc

Z=rJo(^) - J-,(^)- +J 2(^)-^ — .. . + (— i)'J,(a;)5' +...

La comparaison de ces deux expressions de Z donne