III

Jo(^) =■ I

, . , (î)' r, (?)• , fi)' 1

'^ I.2...iL I.(fH-l) I .2.(«-t- 1) (f+ 2) 'J

2o8 CHAPITRE XII.

On conclut de (II) et (III)

La série qui figure dans l'expression de h(^) f^st convergente; car, si l'on considère les deux termes consécutifs (— lYup et (— i)^"^' w^+,, on a

et ce rapport tend vers zéro quand p croît indéfiniment. La convergence sera d'autant plus rapide que x sera plus petit et i plus grand; si x est considéré comme une petite quantité du premier ordre, J,- (a;) sera de l'ordre i.

Les fonctions ii(x) avaient été considérées avant Bessel par Fourier dans sa Théorie de la chaleur; aussi leur donne-t-on souvent le nom de fonctions de Foiirier-Bessel.

L'équation (I) peut s'écrire, en tenant compte de (II),

faisons, dans cette formule, il viendra

j;a;v/~lsin? J^(^) + 2J2(^)COS29 + li^{x) 00549 + • • •

+ y^— 1 [2Ji(^) sinç + 2J3(^) sinScp +. . .].

Supposons 07 et 9 réels; nous aurons, en égalant dans les deux membres de l'équation ci-dessus les parties réelles et les coefficients de \l — i,

(IV

cos(.37sin9) r= Jo(a7) 4- 2i^{x) COS29 + 2i,^{x) cos49 -\- . ■ • sin (jcsin(p)= 2Ji(^)sin9 + 2J3(ii;) sin 89 +. . .

On voit donc que les fonctions de Bessel permettent de développer gu séries

sin

périodiques les expressions (o^sincp).

En changeant 9 en (p + -> il vient

(IV

COS(J7COS9) =:Jo(^) — 2J2(^) COS29 -\- 2 3^(0:) COS49

sin(^cos9):= 2jj(,2?) coscp — 213(^)00339

78. Entre trois fonctions consécutives J/,(^), J,(a^), J/+,(ip), il existe une relation très simple que nous obtiendrons en différentiant l'équation (I) par rapport à s, ce qui nous donnera

ou bien

d'où, en égalant dans les deux membres les coefficients de s'~*,

c'est la relation cherchée.

Soit T une quantité quelconque; on a

ou bien, à cause de la relation (V),

cette formule a été employée par Cauchy dans un de ses Mémoires.

La relation (V) est utile surtout pour les déterminations numériques. Supposons qu'on veuille calculer Jo{^)* h (^)» h(^)^ •••» h(^)^ ^ ayant une valeur connue; on calculera directement Jq et J, par les séries (III); la relation (V) donnera de proche en proche J^, J3, ..., J,, mais avec une précision qui ira en diminuant à mesure qu'on s'éloignera du point de départ. On vérifiera J, en le calculant directement par la série (III).

Toutefois, il vaut mieux avoir recours au procédé suivant :

Posons

U) Pi = Y' P2 = T' '"' Pi—1 — ' /'<+i=-f-' ■ ■'

Jo Jl •'«■—1 "j