IO
nous en tirons
h — 'h-PiPi-- -Pi'
On est donc ramené, d'une part, au calcul de Jo par la série (III); d'autre part,
au calcul de /?<,/>2» •••♦/^f La relation (V) peut s'écrire .
ou bien
d'où Ton tire successivement
Pi+l
Pi+t
ii-\-i
— Pi+ï
On aura donc ce développement de/?/ en fraction continue : (8) Pi^-- '- 7
On calculera;?, par cette formule. L'équation (6) donnera ensuite, pour le calcul de /?,,' •••' ^o
Pi-\ ^
li — 4
Pi-i
■Pi-u
Voici donc l'ensemble du calcul :
On détermine directement Jq et J, par les séries (111), pi par la fraction continue (8), pi^t, pi^i, ...,/>, par les formules (9), J,, J^, . . . , J,- par les relations (5); la valeur trouvée ainsi pour J, devra coïncider, dans les limites de la précision cherchée, avec la valeur obtenue directement. S'il en est ainsi, tout le calcul se trouvera vérifié.
La fraction continue (8) se calculera elle-même par cet ensemble de formules
Pi+J
Pi+J-i =
Pi
d- Pi+J
Pi+1
OÙ le nombre y aura généralement une valeur peu considérable, telle que i, 2, 3, et que l'on détermine rapidement par tâtonnements : le calcul est plus facile quand on a recours aux Tables de logarithmes d'addition.
Dans son Mémoire sur la détermination des perturbations absolues dans les ellipses d^une excentricité et d'une inclinaison quelconques, Hansen a calculé des Tables numériques donnant avec six décimales les valeurs de !„ et J, ; l'argument
est -; il varie de o à 10, en augmentant chaque fois de la quantité constante o,o5.
Dans le Tome I des Mémoires de Bessel, publiés par Engelmann, on trouve, p. io3, des Tables donnant avec dix décimales les valeurs des fonctions !„ et J< : l'argument est x\ il varie de centième en centième, depuis o jusqu'à 3,2.
On pourra évidemment faire usage de ces Tables pour déterminer Jo dans le procédé de calcul indiqué plus haut.
79. On peut exprimer la dérivée de li{x) en fonction de J/+, {x) et de J,, (x); il suffit, pour y arriver, de différentier Téquation (1) par rapport à x, ce qui donne
en égalant dans les deux membres de cette équation les coefficients de -', il
vient
(VI) ^i^^l[j,,(^)j^.^,(^)].
On tire de là
dû:;'- 2
\ dx dx J
OU bien, en remplaçant les deux dérivées premières par leurs valeurs conclues de (VI),
Or on tire de la relation (V)
d'où
ou bien, à cause de (V) et (VI),
'^i''li{x) — i '2^^ — ^[J,-+2(^) — 2j,(^) + Jf 2(^)] + 2^J,(j;); en combinant cette équation avec l'équation (lo), on trouve enfin
cette équation différentielle que vérifie la fonction J/(^) est linéaire, du deuxième ordre, à coefficients variables et sans second membre; elle est très utile quand on veut faire une étude approfondie des fonctions de Besscl. Écrivons, comme il suit, la formule (I)
E« ^'"-"^ = Jo(^) 4- 2 j,(^)c' + 2 (- 0'J.(-^)--'; en changeant 5 en ^? il vient
TRANSCENDANTES DE BESSEL. ai3
si nous multiplions ces équations membre à membre, nous obtenons une équation de la forme
qui, devant avoir lieu quel que soit z, nous fournit les relations
Ao:=i, A,= o, A/ = o;
nous ne développerons que la première, qui nous donne
(VIII) - i = J^(^) + 2j^(a?) + 2j2(^)+....
Cette formule curieuse montre que, x étant supposé réel, la valeur absolue de Jo(^) est plus petite que i, et que celle de chacune des fonctions suivantes
J,(^-), i.J.x), ... est inférieure à — •
On pourrait vérifier la formule (VIII) en partant de l'expression suivante, à laquelle on arrive assez facilement pour le carré de la fonction Ji(cc) :
(IX) j?(^)-2(--^)'^-'ti.....(^;-)][x.2^..(/, + o](i.2.../.)^-'
