APPLICATION DES TRANSCENDANTES DE BESSEL AU MOUVEMENT ELLIPTIQUE

81. Théorème préliminaire. — Soit/(Q une fonction périodique de C, dont la période est 211, qui reste finie pour toutes les valeurs de C; cette fonction est('), pour toutes les valeurs réelles de ^jl développable en série convergente comme il suit : ^

( /(Ç) = iAo+ (Al COSÇ+ BiSinÇ) + (A2COS2Ç + BîSin2Ç) +. . . (i) <

( 4-(A;C0SiÇ + BjSiniÇ)+

Les coefficients'A et B peuvent être exprimés par des intégrales définies; on a, en effet,

Bi=- / /iK)&iniKdK;

cette expression de A, convient aussi pour i = o, si l'on a eu soin, comme nous l'avons fait, de mettre dans la formule (i) ^ A^ et non A„.

(•) Considérons une fonction quelconque de Ç, ^{O, et portons notre attention sur les limites o et o.TT de Ç et sur les valeurs correspondantes de *(^) que nous supposons finies. Le théorème de Fourier et la démonstration de Lejeune-Dirichlet nous apprennent que, dans cet intervalle, on peut toujours trouver un développement périodique convergent de la forme (i), c'est-à-dire

/(O = -^ Ao-i- (Al cosÇ-fBi sin!;) + -- .+ (A/ cosiÇ -+- B/sinfÇ) -+-. . . , tel que, dans tout l'intervalle considéré, on ait /(C) = *(0) et ce développement est unique; la

21 6 CHAPITRE Xm.

On en conclut que le développement périodique (i) n'est possible que d'une seule manière.

Si la fonction/((^) Çi^i paire, les sinus doivent disparaître de la formule (i); on a, en effet, par hypothèse, pour toutes les valeurs de ^,

en remplaçant/(Q 6t/(— C) par leurs valeurs déduites de la formule (i), supprimant les termes communs aux deux membres, il reste

o = Bi sinÇ +B2 sin2C + . . . 4- B, sini'C -h. . . ;

cette équation doit avoir lieu pour toutes les valeurs de T; on peut appliquer la dernière des formules (2), en remplaçant sous le signe / la fonction /('() par o; on trouve ainsi

Bi — o, B2=o, ...;

donc, dans ce cas, le développement (i) se réduit à

(4) /(Ç) — iAo+ A, cosÇ + . . . + A,cosiCH-

On conclut de la formule (3) la relation

/(27:-Ç)=/(0; on a, d'ailleurs,

cosf(27r — Ç) = cosïÇ;

si donc on considère les valeurs de l'élément différentiel de la formule

Xi—- I /(Ç)cos«C^Ç,

qui correspondent aux valeurs ^ et 211 — '(, on voit que ces valeurs sont égales et de même signe, et l'on peut écrire

cosi^d^-

fonction ^(O peut môme être discontinue. Mais, de 27: à 471, de /{tz à Gti, . . ., /(Ç) reprendra les mêmes valeurs que l'on a obtenues de o à 271; tandis qu'en général *(0 pourra prendre des valeurs n'ayant aucune espèce de rapport avec celles de *(0 pour Ç, compris entre o et 2Tt. Il n'en est plus de même quand la fonction «ï> est périodique et a la période 2tt; les fonctions /(Q et *(0 coïncideront alors pour toutes les valeurs réelles de .\, f