APPLICATION DES TRANSCENDANTES DE BESSEL. 2 1'J
Si la fonction/((^) est impaire, on a, quel que soil t, (3') /(0+/(-Ç)-=o;
d'où, en remplaçant /('() et/(— '() par leurs valeurs tirées de la formule (i), et supprimant les termes qui se détruisent,
O — J- Ao 4- Al C0SÇ4-. .4- A,-cos/C -h. • . ;
Si donc on applique la première des formules (2) en y remplaçant/('C) par o,
il viendra
Ao = o, A, = o, ...,
et, dans ce cas, le développement (i) se réduit à
(4') /(C)==B,sinC + B2sin2Ç + ...;
on aura ensuite
/(2Tî — Ç) ^— /(C), sinf (27: — C) = — sin/Ç,
et en groupant les éléments différentiels, comme on l'a fait plus haut, on verra que la seconde des formules (2) pourra s'écrire
(5') B,= - f /(C)sin/CrfÇ.
82. Soient e l'excentricité de l'orbite d'une planète, excentricité qui sera comprise entre o et i ; T l'anomalie moyenne correspondante au temps quelconque t\ u, w etr les valeurs de l'anomalie excentrique, de l'anomalie vraie et du rayon vecteur qui se rapportent à la même époque. On aura, comme on l'a vu au n° 32, l'équation
(6) u — eslnu = Ç.
Soity un nombre entier positif: considérons la fonction
lorsque t augmente de 27:, // augmente aussi de 2-, et la fonction cosj'ii ne change pas; cosyM est donc une fonction périodique de ^ dont la période est 2-; d'ailleurs, cette fonction reste finie. On peut donc la développer sous la forme (i), et appliquer les formules (4) et (5), parce que /(t) est une fonction paire. Nous poserons
(«) cos./« = {/»[/' H-/;'/' cosÇ-l-/?'2'"cos2Ç + . . .4-//'/' cos/Ç4-. . . ;
2l8 CHAPITRE XllI.
la série sera convergente, quelle que soit la valeur de e entre o et i, et nous
aurons
On tire de la formule (6) il en résulte d'abord
Lpu>--: I cos j'u du — e I cosucosjudu:
on en conclut que, siy est supérieur à i, on a lorsquey = i, il vient
cos^ u du := e,
d'où
La formule (7) peut s'écrire
en intégrant par parties, il vient
■7: ,. /*" . .^ dcos/u
ou bien, en remarquant qu'aux limites o et tî de l répondent les mêmes limites de M,
Nous pouvons remplacer l par sa valeur (6), ce qui nous donnera ^ /;/' = / 2 sinyV< sin ( h< - - <e siri «) du
APPLICATION DES TRANSCENDANTES DE RESSEr.. - 2[()
OU bien
-^ p^/^ ■= I cos[{i — /)u—iesinu]du-- 1 cos[(/ + /)?f — iesinii]du. Si l'on a égard à la formule (X) du n"^7^on voit qu'on peut écrire
f /?'/'=-- o, pour ./>i,
On aura, en particulier, pour /= i,
(.1) •T,-^.i(/e) — J,+i(/g) Pi - •
cette expression peut être transformée au moyen de la formule (VI) du n° 79, qui donne, en y remplaçant ce par ie,
J,--i(^g) — J,+i(;g) — -, ^^ ; il viendra donc
Considérons maintenant la fonction
c'est une fonction périodique de '( dont la période est 27:; cette fonction reste toujours finie, elle est du reste impaire ; on pourra donc poser
(a') sin/u ■=. q^l^ sinÇ -h q^C" sin 2 Ç -h . . . -H^p' sin il, + . . . ;
cette série sera convergente pour toutes les valeurs de e comprises entre o et i, et l'on aura, par la formule (5'),
' sin/wsiniC^C
d'où, en opérant comme précédemment,
fil cosi^cosju du,
fit 2 cos/w cos ( iu — ie sin u ) du,
fit ^TZ
cos[{i —J) u — iesinu] du -\- j cos [(«+/) u — ies'mu] du,
On aura, en particulier, poury = i,
cette expression peut être transformée au moyen de la formule (V) du n" TC qui donne, en y remplaçant x par ie,
il viendra donc
J,, (/e) + Jj+i (ie) = - J/ (i'e) ;
(C) ^U)= £J.(ie)
ie
Remarque. — On tire des formules (a) et (/>), («') et (b'), en supposant
( d) cos /« = y 2 [ h-j (ie)— h+j (ie)] '-^^ ,
{d') sin ju ^j 2 [3i j ( ic) -h .1,+, {ie)-\ ^^ .
.On peut écrire ces formules comme il suit
(?) cosju=j 2^ ,i,j{ie)—^ ,
t i\ • • . v^ , , . , siru't
OÙ l'indice i prend la série des valeurs entières positives et négatives, zéro étant excepté.
Pour le voir, il suffit de remarquer que l'on a
i-i-j{—ie)—ii+j{ie).
83. Nous pouvons appliquer ce qui précède au développement périodique du rayon vecteur r, dans le mouvement elliptique. On a
r = a{\ — ecosM);
il suffit donc de remplacer cosw par son développement fourni par les formules {a) et (c); on trouvera ainsi
r I » V di,(ie) cos/Ç
de
en remplaçant J,(<e) par son développement en série
ic{ie)= '
LV 2 y !.(«+ l) "^ I.2.(i + l)(i-h 2) '"■J
i.2...i\ i{i-hi) 1 i{i-\-i){i-\- 2) 1.2 /'j'
et faisant
la formule (/) donnera
(B) i:^i4 1" VCiCosiÇ.
Les formules (A) et (B) résolvent la question proposée; il est important de remarquer que, si l'excentricité e est considérée comme une petite quantité du premier ordre, le coefficient de cos iX, dans le développement de r est de l'ordre i, et qu'il ne contient que les puissances f, « -t- 2, « -i- 4, . . . de e.
Cherchons maintenant le développement de la différence w — '( entre l'anomalie excentrique et l'anomalie moyenne; on a
u — Ç ^rr e sin u
OU bien, en ayant égard aux formules (a') et (c'),
Posons
L I.(« + l) I.^(«-Hl)(«-h2) I.2.3(«+ l)(/-h2)(«-t-3) J
et nous aurons
(B') M-Ç=2l^'Sin«Ç.
On voit que le coefficient D^ de sin^T est de l'ordre i et qu'il ne contient que les puissances î, « -+- 2, / 4- 4, • . . de e.
84. C'est ici l'occasion de donner deux formules qui sont souvent utiles; désignons par w l'anomalie vraie de la planète; on a
tang - w = \/ ^—^ tang ^ « ;
cela rentre dans le type
tangj=: p. tang^,
qui donne, comme on sait,
(8) y = œ-\-^ • sin2jrH — ( '-^ ■) s'm^^v -+- ^ ( -] pin6,a? H-. . . ;
on aura, dans le cas actuel,
^ */ ^ e' fx+i i^y/i e2
I w=i u-\- 'iX - sin i^ 4 — 7 sin 2 u
On peut écrire aussi
1 ang - « =:: t / lang - «'.
Pour appliquer la formule (8), on devra prendre
|JL • ' ^
il en résultera
3 (i + v/i"ireiy
sln 3 ^v
Nous allons considérer ensuite la différence entre l'anomalie moyenne et l'anomalie vraie. On a les formules
Z,^= a — e sin«,
/ ^ sintv
iH-ecosfrP d'où
(9) t, — a + \lx — ë'
d. Iog(i -\- ecosw)
dw Or on peut écrire
H- e cosw = -^ (i -t- [SE*^ ^''^O (i + j3E-*^ */^0»
en posant
\—\Ji — e^ e
On en conclut
log(l 4-eCOSfP) =rIog -^ + !-(E'*'v'-i +£-*'' v/--i) n(E2'*'/-i 4-E-2"'v'^) +. . .
=:l0g— g + 2([3C0S«V— -|32C0S2«V + ^ [3» cos 3 tv — . . . J ,
et, en substituant dans la formule (9),
Ç.~ MH- 2 v/i — e^(— (3sin«p+ [3*sin2(v — j3*sin3<p + . . .). On peut remplacer u par son développement (C,), ce qui donne ^
sintH\
On a donc cette formule ,^. ^ r . I n-2v/i — e^ „ . I I + 3i/i — e- - . - I
Bemarque. — Considérons les trois anomalies a, t, w, et d'abord les deux premières; on peut se proposer de développer la différence u —t suivant les sinus des multiples de t: ce but est atteint par la formule (B'); la même différence s'exprime bien simplement à l'aide des sinus des multiples de u, puisque l'on a u — X, — e sinw. Les formules (C) et (C,) donnent ensuite le développement de la différence w — u suivant les sinus des multiples de u ou de w.
La troisième différence t — w est développée par la formule (D) en fonction des sinus des multiples de w, il reste à y introduire les sinus des multiples de 'C; c'est une question très importante, et plus compliquée que les précédentes; elle sera résolue plus loin.
On peut remarquer encore que, dans les expressions (C), (C, ) et (D), les coefficients sont des fonctions algébriques très simples de l'excentricité; il n'en est pas de même dans la formule (B'), ni dans celle qu'il nous reste à obtenir, et qui doit donner X, — w Qn fonction des sinus des multiples de '(.
85. Donnons encore quelques formules intéressantes dans lesquelles figurent les fonctions de Bessel. On vérifie très aisément les deux relations suivantes :
a du
(11) —-j—^=9.esmu.
La première donne, en ayant égard à la formule (/'), (g) ^ =1 +2^J,(ie)cosfÇ.
On a donc ainsi le développement périodique de -•
On tire ensuite de la formule (i i), en tenant compte de (a') et (c'),
di;
^^hiie)
