APPLICATION DES TRANSCENDANTES DE DESSEL
d'où, en intégrant et désignant par C une constante arbitraire,
Reste à déterminer G ; or on a
—2.=^ I — 2e cosa + e-cos-w = i H ae cosu -\ cos2u;
on a vu plus haut que le terme non périodique de cosm est — -> et que celui de C0S2W est nul; donc la partie non périodique de -^ est r + -e^ = G, et l'on a
r^ 3 , , V T / • \ cosfÇ
On peut obtenir aussi facilement les développements périodiques de sin^p et costit' :
On a d'abord
I + ecostv d'où
ecosw=z — I -j — u — e-), r '
OU bien, en remplaçant - par son expression {g),
i = cc
(/') cosw = — e + 2 \ji{ie) cosiÇ.
On vérifie ensuite aisément la formule
= sin w,
qui donne, après qu'on y a remplacé - par sa valeur (/),
^ \;i d. Ji{ie) sirifÇ
Soit C l'équation du centre; on a
sin C := sin w cos Ç — cos tr sin C ; d'où, à cause des formules (k) et (k'),
i — co
djfiie) sini'CcosÇ
SinCrz: 2 v/l
de
+ esinÇ— i
/\ 3i{ie) cost'ÇsinÇ;
si l'on transforme sinfCcos'C et cos «(^ sin (^ en une somme et une différence de sinus, on obtient la formule suivante
SI
nC = V F/sin/Ç,
où l'on a
Fi=:eH —i^{2e)-+- - y/i — e-
de
et pour i> i,
- j i <iJ,-n[(t + i)g] ^ I c/J,-i[(?— i)g] j
de
de
86. Soient l et f] les coordonnées d'une position quelconque de la planète dans son mouvement elliptique, par rapport au grand axe (axe des l), et à la parallèle au petit axe menée par le centre du Soleil (axe des y]). On aura
^ = r cosw=z a (cos a — e), Yî =r /• sin<v = ay/i — e'^sinu.
Si l'on remplace sinw et cosw par leurs développements périodiques trouvés plus haut, on obtient sans peine les formules suivantes
3 x? T / . , cos « M
- - e+ 2^ J,i(fe)— ^ ,
2 siiiiC .
dans les 2, on doit donner à l'indice «toutes les valeurs entières depuis — oc jusqu'à -h co, en exceptant la valeur zéro.
APPLICATION DES TRANSCENDANTES DE lîESSEL. 227
Enfin, dans une méthode importante relative à la théorie des perturbations planétaires due à Hansen, on a besoin des développements des expressions
— ^- et — Y~' suivant les sinus et cosinus des multiples de l'anomalie moyenne.
Ces développements sont faciles à obtenir; on a, en effet,
cosw ^ sinw Y)
Par rapport aux axes 0^ et Oy], les équations différentielles du mouvement elliptique de la planète sont
on en tire, à cause des formules
dl^'
dX'
Dans les seconds membres des deux dernières équations, remplaçons ^ et y) par leurs valeurs (m), et nous obtiendrons
1=2+ te
Dans ces dernières formules, on peut ne plus excepter o parmi les valeurs de i; les termes correspondants sont nuls.
87. Considérons une fonction S, finie et bien déterminée, de l'anomalie excentrique u, ayant pour période 271; S sera aussi une fonction périodique de 'C, admettant la même période; on aura donc ces deux développements convergents
s := - «0 + <^l ces U 4- «2 ces 2 a + . .
+ 61 sin u + 62 sin 2 i^ + . .
!S = - Ao H- A, cosÇ 4- A2COS2C + . • ■ H- Bi sinC + B2 sinaÇ H-. . . .
Supposons que le premier soit connu, et proposons-nous d'en déduire le second; cela est facile en partant des formules trouvées dans le Chapitre précédent pour les développements de cosyw et sinyw suivant les sinus et cosinus des multiples de 'C. On avait fait
cosya — - p^p H- 2] P^i^ cos i^,
1 = 1 on trouvera aisément •
Ao= ?«o+«i/^c)'\
THEOREME DE CAUCHY.
