M'A' = MA

la constante f est l'attraction de deux urtités de masse à l'unité de distance.

5. Nous allons traiter une question intéressante qui se présente naturellement.

La loi de Newton mérite-t-elle réellement la qualification d'universelle? Préside-t-elle aux mouvements des systèmes éloignés et, en particulier, aux mouvements observés avec tant de soin depuis W. Herschel dans les étoiles doubles.

Pour se prononcer, il faut voir d'abord quelles sont les données précises de l'observation; elles sont résumées dans les deux lois suivantes :

(a) Dans tous les systèmes binaires, la projection du rayon vecteur mené de l'étoile principale au satellite, sur le plan tangent à la sphère céleste, décrit des aires proportionnelles aux temps.

(b) L'orbite apparente du satellite est une ellipse.

Il convient d'insister sur ce point que l'observation nous donne ce qui se rapporte à l'orbite apparente et non pas à l'orbite réelle; c'est qu'en effet les mesures des astronomes se rapportent à la projection du satellite sur le plan langent à la sphère céleste mené par l'étoile principale; le satellite pourrait occuper une position quelconque sur le rayon qui le joint à la Terre, en avant ou en arrière du plan tangent considéré. Au point de vue strictement rigoureux, il serait impossible de déterminer l'orbite réelle; il faut faire une hypothèse, et la plus naturelle est d'admettre que cette orbite est plane ('); il en résulte aussitôt que la loi des aires a lieu pour l'orbite réelle, et que cette orbite est une

(1) La loi dos aires ayant lieu pour la projection sur lo plan tangent à la sphère, il en résulte que la force rencontre la droite SO (S désignant la Terre, ou plutôt le Soleil, et 0 l'étoile principale). On peut dire la même chose pour les autres étoiles doubles; S est d'ailleurs un point quelconque, n'ayant aucun rapport avec les points tels que 0; il est donc tout naturel d'admettre que la force passe toujours par le point 0 ; la force étant centrale, l'orbite est plane.

ellipse, puisque sa projection sur le plan tangent, qui n'est autre que l'orbite apparente, est elle-même une ellipse; mais, dans l'orbite apparente, l'étoile principale est un point quelconque; la position du plan de l'orbite réelle est inconnue, et il nous est impossible de décider, par les observations usuelles, si l'étoile principale occupe réellement l'un des foyers de l'ellipse réelle.

On démontrera immédiatement, de la même manière que pour les planètes, que, dans chacune de ses positions, l'étoile satellite est soumise à l'action d'une force R dirigée vers l'étoile principale; mais il ne sera pas possible d'arriver h la connaissance de l'intensité de R en partant de cette unique donnée, que le satellite décrit une ellipse. Toutefois, on peut généraliser les conclusions des observations en remarquant que les étoiles doubles dont on connaît les mouvements relatifs sont nombreuses; que ces mouvements sont très différents d'un système binaire à un autre, pour ce qui concerne les dimensions, les excentricités, etc. des ellipses, et il est naturel d'admettre que la force R est telle qu'elle ferait décrire à un satellite quelconque une conique, quelles que soient, à l'époque initiale, la position du satellite et sa vitesse, en grandeur et en direction. Nous admettrons enfin que l'intensité R de la force ne dépend pas de la vitesse du satellite, mais seulement de sa position.

Soient ;

Ox, Oy deux axes rectangulaires menés par l'étoile principale 0 dans le plan de

l'orbite réelle; ce et y les coordonnées du satellite M à l'époque t; r la distance OM.

Les équations différentielles du mouvement de M seront

dfi r

où R = $(^, j) est une fonction inconnue des deux variables indépendantes x et y; il s'agit de déterminer cette fonction de manière que l'orbite qui résulte de ces équations différentielles soit une conique, quelles que soient les valeurs

initiales a^o, Jo» "^o = ("^j ' Jo = (■^j des coordonnées et des composantes de la vitesse.

Ce beau problème a été proposé par M. J. Bertrand, dans le tome LXXXIV des Comptes rendus de V Académie des Sciences; ce même volume renferme deux solutions complètes et entièrement différentes, dues à M. Darboux et à M. Halphen. Depuis, M. Darboux a développé sa méthode dans l'une des Notes remarquables dont il a enrichi la Mécanique de M. Despeyrous. Nous allons reproduire

ici la solution de M. Halphen, avec quelques modifications qui rendent peut-être la démonstration un peu plus longue, mais lui donnent, à ce qu'il nous semble, plus d'homogénéité.

Nous ferons

/ dcc , dy ,

(6) ) Tît ^ ^ ^ dt ~'^ '

( Rr= — mur;

u sera comme R une fonction inconnue de ^et j; les équations différentielles (5) se trouveront donc remplacées par le système suivant :

!dx , dy , dx' dy'

—~^zx\ -f- = r', -y-:=zax. -~=iltY,

dt ' dt ^ ' dt ' dt - ' u — ^{x,y).

Nous aurons dans la suite à prendre les dérivées par rapport au temps de fonctions des quatre quantités x,y, ce', y'; nous les calculerons par la formule suivante, qui se déduit immédiatement des équations (A)

d^, , M ,à¥ ,d¥ f dF dF\

dans le cas où la fonction F ne contient que œ, cela se réduit à

Lemme. — Trouver l'équation différentielle commune à toutes les coniques. L'équation générale des coniques est

(8) k.x--\-iBxy + Cj*+ -iFx -\- 20/ + H = o;

elle définit j en fonction de x et de cinq constantes arbitraires. Prenons x pour variable indépendante et différentions cinq fois de suite, nous trouverons, en désignant les dérivées par la notation de Lagrange,

C/j' -\-^{xy' -\- y) -\- kx-^Giy' -^F = o,

C(/y' +./^) +B(^/' + 2/) +A -j-Gj" =0,

(9) iC(j7'"+3//') +B(^7'"+3j") +G7'" =o, C(j/^+4jr'+3/'^) +B(^7-+4r) +Gj- ^o, C'iyf + 5/J-+107V) + B(^j- + 5/-) + Gj- = o.

Il reste à éliminer entre les six équations (8) et (9) les cinq quantités jz,

û ; les trois dernières des équations (9) contiennent seulement, et sous forme homogène, les trois quantités B, C, G; on aura donc le résultat de l'élimination en

égalant à zéro le déterminant

yy 4 ^yy ^y ^ 3 j" y

yy"' + Sj'j' '■ + 1 oyy a^y + ^y y

On trouve aisément, en partant des propriétés élémentaires des déterminants, que A se réduit à

'ày'" kf f' ^oy"f 5j- y

en supprimant le facteury et revenant à la notation différentielle, il vient

L'ordonnée d'une conique quelconque vérifie cette équation, et, réciproquement, toute fonction de x qui y satisfait pourra être considérée comme l'ordonnée d'un point quelconque d'une conique dont ce serait l'abscisse.

Il faut maintenant considérer l'une quelconque des trajectoires qui résultent des équations (A), regarder j comme une fonction de x, former les dérivées

T2' *■■' TF^' et les substituer dans la relation (B).

On a d'abord, en tenant compte des formules (A) et (7),

dx œ'

ou bien

, d'^ y œ' Il V — r' ux

dx^ ~~ œ''^

Remarquons que, d'après la loi des aires, le binôme x y — y'x est constant; en ayant égard à cette remarque et aux formules (7) et (7'), on déduira aisément de la formule (10), différentiée plusieurs fois par rapport au temps, les

formules suivantes :

x'' -r4 =:(^ y — y^r) j:'--^-r- — louxx' —, oa-x'-+ lou^x-],

dx* "^ "^ \ dt^ dt )