Posons
la formule (2) va devenir
S ==^Ao+ ^ A,(^4-5-»)+ '- A,{z'-^z-')-^.
+ — ^ Bi {z - ^-' ) + — L= B2 (^^ 2\/ — I 2y — I
23o CHAPITRE XIV.
en posant
P,. ^lA. + i-'L,
d'où
!Ao= 2 Pq, A, = P, + P„
' zPd'C est égale à 211, et qu'elle
est nulle si/? désigne un nombre entier quelconque positif ou négatif; cela résulte de la formule
I zPdt;= I cospKdZ -hs/—i j sinpKd^'
On aura donc, en multipliant les deux membres de l'équation (5) par z-^dt, et intégrant entre les limites o et itz,
(7) 2T:Pi=z f S5-'^C;
cette formule a lieu pour toutes les valeurs entières de i, positives, nulles ou négatives.
Posons maintenant
il existe entre les variables z eis une relation importante; on a, en effet,
Ç = « — e sin 11 ;
d'où
Remplaçons \/— I sin M par
et nous trouverons
(9) ^ = 5Ef^('~^); telle est la relation cherchée.
Nous aurons ensuite
d^z=z {\ — e cos
u)dif= \i-^(s+^\\du;
portons ces valeurs de z et de d^ dans la formule (7); elle va nous donner, en remarquant que, si C croît de o à su, u croît lui-même de o à au,
2T:Pi= f S5--'E^v ~^^ ri. ^ ^5+ 1^1 du ou bien (10) 27:P/=/ \]s-'du,
en posant
(„) U = SEÏH)[,-f(.^i)].
La fonction* S est développable en série convergente procédant suivant les puissances positives et négatives de^; cela résulte des formules (i) et (8); il en est de même du produit de S par l'expression
c'est-à-dire de U.
Nous pouvons donc écrire
i U = p; -+- p; 5 + p; 5^ + . . . + p; 5'" + . . . ( +p1i^-/+pi25-2+...+p:.,-5-'4-....
On conclut de cette équation que l'on a
X27t l]s-'dj='2nVi,
et, en comparant cette formule à la formule (10), on arrive à
Donc le coefficient P; de s', dans le développement de (5), est égal au coefficient P^. de 5' dans le développement ( 1 2) ; on voit qu'on est ramené à développer, suivant les puissances de s, la fonction U qui est un produit de trois facteurs:
l'un j f ^ + - j est tout développé, l'autre E^^ ^^ se développe aisément
(cela introduit les fonctions deBessel); enfin, dans un grand nombre d'applications, S est une fonction simple de s : c'est en cela que consiste le théorème de Cauchy.
Quand on aura déterminé ainsi les coefficients P,, on calculera A^ et B, par les formules (6).
On peut donner au théorème de Cauchy une forme différente ; écrivons d'abord l'équation (7) comme il suit :
Si nous intégrons par parties, il vient, en remarquant que S prend la même valeur pour ^ = o et ^ = 27r,
i\/—iJo «Ç i\/—iJo ds du
Remplaçons z par sa valeur (9), et ^ par \/^ E"^ = ^v/--^, et nous trouverons finalement
(i3) 27iP,==4 r''s-(^'^^~¥M'~~''^du.
i Jo ds
Or, si nous considérons la fonction
i ds '^
et que nous la supposions développée suivant les puissances positives et négatives de s, de manière à avoir
nous en conclurons, en multipliant par jf-^'-^f/w et intégrant de o à 2'it relativement à u, s
(i4) 27rQT*-*^4 r^'s-i^-^^'^E^^'"' du
»-' i Jo as
La comparaison des formules (i3) et (i4) donne
P.= Q:-i; donc P, est le coefficient de 5'-' dans le développement de la fonction V.
THÉORÈME DE CÂUCHY. — NOMBRES DE CAUCIIY. 233
Voici donc le théorème complet dû à Cauchy : Considérons le développement
+ P iS-» + ...-^P,-s-'4-... .
I'* P, est égal au coefficient de 5' dans le développement de la fonction
(.) 0 = SEÏH)[,i(,.l)].
2" P/ est encore égal au coefficient de s^~'^ dans le développement de la fonction
^ i as
Dans les applications, on prendra celle des deux formes qui paraîtra la plus avantageuse; il faut remarquer que, pour le calcul de P^, «étant nul, on devra employer la forme (a).
On pourra se convaincre facilement qu'en partant de la forme (a), et passant ensuite des valeurs des coefficients P, à celles des A^ et B/, on retombe sur les formules (3).
Faisons néanmoins une application au développement de -■, déjà considéré
ci-dessus.
On a
la fonction U se réduit à
Vi est donc égal au coefficient de s^ dans le développement de E^^ ^\ c'està-dire à Jj(/e); P.., est égal à J,(— «e) =i^(^ie) = P,. Les formules (6) donnent
- Ao=: Jo(o) =1, ki = iii{ie), B,=o;
on retrouve bien la formule déjà obtenue
- = H- 2 ^ ii{ie) cosiÇ.
Avant de faire des applications plus compliquées, nous allons introduire des coefficients numériques que l'on rencontre dans plusieurs questions, et auxquels on a donné le nom de nombres de Cauchy.
89. Soient y et q deux nombres entiers positifs ou nuls, pun entier quelconque, positif, nul ou négatif; l'expression
peut être développée suivant les puissances positives et négatives de a;; le développement contient d'ailleurs un nombre limité de termes. Nous représentons par N^j y le terme indépendant de œ dans ce développement; on peut dire aussi que ^-p,j,q est le coefficient de ccf dans le développement de l'expression
(x-^ — j (x ] suivant les puissances de x; '^-pj,q représente l'un quelconque des nombres de Cauchy. L'introduction de ces nombres permet de présenter d'une manière plus simple certains développements qui se rapportent au mouvement elliptique; nous allons faire connaître quelques-unes de leurs propriétés.
On a
= 1, si j' + q—p est nu],
—-0, si y + ç —/? est négatif ou impair.
En effet, le développement du produit (x-^-\ ix — ~\ est de la forme
