X -\- -\ ix ^j ■=^xi+i -\-c^xJ-^i-^-\-c^xi^'i
on en conclut
\—-x-p{x-^-\ ix -M ■=ixi^i-P^ c.^xJ^^-P-'^+c^i^xJ'^i-P-^-V
On voit que, siy + ç'— /? est nul, la partie constante de 1 est égale à i ; si j -\- q — p est négatif, il n'y a pas de partie constante, et il en est de même siy + çf — p est impair.
On a la relation
En effet, ^-pj,q est le terme indépendant de x dans le développement de x^pIx h — j ix — - j ; ce sera aussi le terme indépendant de x' dans le développement de l'expression suivante, que l'on déduit de I en changeant jc en — >
THÉORÈME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCllY. 235
or ce dernier terme est par définition égal à ( — lyN^j,^; la formule (i5) est donc démontrée.
Cherchons l'expression analytique de N^,o,^ en supposant 7>/>, ce qui est toujours possible d'après la formule (i5).
On a
\ xj .^d^ 1 .2. . .a. r .2. . .p
où a et (îsont deux entiers nuls ou positifs vérifiant la relation a. -h^ = q; pour obtenir le terme constant de ce développement, il faut faire
on en conclut
et
On pourra calculer par cette formule les valeurs de N^,„^y et former un premier Tableau contenant tous ces nombres : p sera l'argument horizontal, et y l'argument vertical du Tableau.
On a ensuite la relation
('7/ ^-p,y+i,'7^^ ^-p+\-],q~^ ^-p-i,J,çrf
qui résulte de la formule On aura, en particulier,
^—P,t,7~~ ^^-/'+1)0,7~1~ J^-TJ — 1,0,<}' j
on pourra donc former un second Tableau contenant les nombres de Cauchy pour lesquels/ = i.
On continuera ainsi poury =n 2,y = 3
Nous allons reproduire quelques Tableaux donnant les valeurs des nombres de Cauchy, N^yy,poury = o,j = i ety = i; p est l'argument horizontal, q l'argument vertical ; quand une case est vide, c'est que le nombre correspondant est égal à zéro.
Tableau des N-;;,o,7-
(/; est l'argument horizontal et q l'argument vertical.
Tableau des N p,i,^.
Tableau
