m= im
On a alors
C'est maintenant le terme en f 5 h — j qui ne contiendra pas de partie in-
dépendante de s, tandis que f ^ + - j donnera la partie constante
on aura donc
(21) lc(2m'+i)
ï .(îm'-.n (^'4-2) (/n'+ 3) . . . (2m'+ 2) /eX^'"'
Il nous reste à calculer icJ/"' = PJ'"', i étant différent de zéro; nous appliquerons la seconde forme du théorème de Cauchy, et nous aurons pour^cj"" le coefficient de s^~* dans le développement de la fonction
i ds '
en remplaçant S par sa valeur (19), on trouve que cela revient à chercher le coefficient de s^ dans la fonction V'= V^,
en développant Texponentielle suivant les puissances de ^ ? il vient
ie
ie\i
-' ^,+ir"Y.-iV"
THÉORÈME DE CAUCHY. — NOMBRES DE CAUCHY. 23ç)
Le coefficient de s' dans le second membre de cette formule sera, en introduisant les nombres de Caucliy,
/ie\ /iey f ie\t
On aura donc
f le
2/ ^hd \.i. . .q
Les formules (20), (21) et (22) résolvent le problème qui se trouve ramené au calcul des nombres de Cauchy; ces formules sont dues à M. Bourget. On remarquera que, pour que N/^,„,^y4., ne soit pas nul, on doit avoir
k étant un entier positif ou nul; donc
in-\- q^=L i-\- ik.
Il en résulte que, relativement à e, c^"" est de l'ordre i, et ne contient que des puissances de e dont les exposants sont de même parité que i.
91. Développement de ( - J suivant les cosinus des multiples de l'anomalie moyenne, m désignant un nombre entier positif. ~ Nous aurons en série convergente
(23) s = (^^ r"'= ^ G^'-h ^Gl'"' costC= P'o"'^ 2^''"" (-' -^ -"'),
en faisant
La fonction S a d'ailleurs pour expression
Nous appliquerons le théorème de Cauchy sous sa première forme; PJ'"' sera le coefficient de s' dans le développement de la fonction
24o CHAPITHE XIV.
Commençons par P'J"'; ce sera le terme indépendant de s dans le développement de
or on a, en laissant de côté les puissances impaires de 5 + -> qui ne nous donneraient aucune partie indépendante de s,
{m — i)m f ey f 1
{m — \)m...{m + 9.p — i)(eY?f ^ l\-^
On trouvera ainsi
!' PC")— {m — \)m(eY (m — \)m{m -y- i)(m -j- 2) / eV (m — i)/n(m H- i). . .(m H- 2p — 2) f e\"^ ^- {1.2. ..pr ~"vv "^■■"
Venons maintenant à la recherche de GJ'"'; posons, pour abréger,
mi=:
nous aurons, par la formule du binôme,
La formule (24) nous donnera ensuite
' ie\ '/
e\V. . iN-'',, v^ \ V /^__1\''
'■'.(r'-'hO'i^-r
On en conclut, en introduisant les nombres de Cauchy,
(.,) Gr=^227:r7:^'»/ ï n.,„;
j varie de o à + so, et y aussi; on a vu que, pour que ^-i,j,ç ne soit pas nul, on doit avoir
k désignant un nombre entier nul ou positif; il en résulte que, relativement à c, le coefficient GJ"" sera de l'ordre i, et ne contiendra que les puissances de degrés ï, î -f- 2, î -f- 4» • . . de e.
Calculons en particulier G'^""; nous trouverons
+ (^-j (^'^sN-i.s.o-H Y^'-''^''+ rt^-'''-'"^ 77^^-^'"''
On trouve directement
■l^-i.s.o^ + 3, JN i^2,i -— "l- ^ 5 J^— 1,1,2 ^^^ — ï> N),o,3 ^^^ — 3;
N i,5,0 = +IO, N,,4,, = -|-2, ]N i,3,2=— 2, N,,2,3=— 2, N.,,,,;=H-2, N i,o,5=+IO;
et, en remplaçant m^, m, , ma, . . . par leurs valeurs (26), il vient
ir{m) (^\ m{m'^+ m — Z) ^ e\^ m(m^ + 6m^ + 5m^— 8m — 3) /^V 2 * "~ \2/ 2 ^ \2/ 12 \2/
92. Appliquons les formules précédentes au cas de m—i\ nous aurons alors
Gl,''+ 2^''"cosiC; la formule (20) donne ensuite
le second membre se trouve être le développement de (i — e^) \ On a donc
2 " sjx — e^ Les formules (26) et (27) donnent ensuite
/no ^= mj = W2 = . . . = I ,
enfin on aura
Nous allons déduire de là un développement dont l'importance est fondamentale, celui de l'équation du centre suivant les sinus des multiples de l'anomalie moyenne.
En désignant toujours par w l'anomalie vraie, le principe des aires nous donne
on en conclut
r^ -T- ^rz na^ y/ 1 — é^\
dw a-
et, en remplaçant -^ par son développement (29),
^ ^ I H v/i^:r^ 2] Gp' ces i ç.
Multiplions pard'C, intégrons et déterminons la constante par la condition que, pour (^ = o, on ait mp = o; il viendra
Si donc nous désignons l'équation du centre par c et que nous fassions (a) *^ ~ 2 H/siniÇ,
nous aurons
v/i — e2 '^'^ il (e\J+i
tout est donc ramené en dernière analyse au calcul des nombres de Gauchy.
On se rappelle que les indices j et q prennent toutes les valeurs entières nulles ou positives satisfaisant aux conditions
on aura donc pour H^ une expression de cette forme
H,= -^[H,.(f)%Hi.(i)'-....] Cherchons l'expression de HJ"'; nous aurons
