ty

où les indices/ et q prennent toutes les valeurs entières nulles ou positives, telles que y -i- q =: i; or on a vu que, dans ces conditions, on a N/,y,^ = i ; on trouvera donc, pour le coefficient cherché,

Hl---2l

l'f II- l'

Remarque. — On a vu dans les n"** 91 et 92 que, pour 7?2 = i, - GJ,"" est égal

à I et que, pour m = 2., - GJ,'"' se réduit à ^- On peut démontrer que l'on

peut sommer la série (20) quel que soit le nombre entier m, supposé maintenant supérieur à 2. On tire, en effet, de la formule (23),

-fi-

^Gr=^ I ('-] dK

OU bien, en remplaçant d^i par sa valeur tirée de (3o) et remarquant que w varie entre les mêmes limites, o et 4?:, que t,

2 1/1 — e'itj, \aj

On a d'ailleurs

il viendra donc

Or on a, en employant la formule du binôme,

+ ^ — ^ eP I cos^ w dw +

L'intégrale / cos^w^^c^m^ est nulle si/? est impair, et égale à

si/? est pair. On trouve ainsi, après une légère transformation des coefficients,

lGr={^-e4~"^U + ^"'-'l["'-^U^'

(Si)

On voit que la série qui figure au second membre de cette formule se termine d'elle-même, si m est un nombre entier supérieur à 2 ; pour w = 2, ce second

membre se réduit bien à —

Pour terminer ce sujet, nous reproduirons ici l'énoncé d'un théorème que nous avons démontré dans les Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. XCl, p. 897 :

Soit/(r) une fonction finie et bien déterminée du rayon vecteur r; on pourra développer cette fonction suivant les cosinus des multiples de l'anomalie

moyenne

Le coefficient B/ est représenté par une série ordonnée suivant les puissances de l'excentricité; voici sa valeur symbolique :

e\i+ip

Ul - 0'+^-'(^ -+-0"-' (^ + «■+ 2/));

quand on aura effectué le produit

^(^ - 0'-^''-' (^ + 0^-' (^ + ^' + 2/?), on devra y remplacer une puissance quelconque de ^, ^^ par

y. n d'if {a')

le coefficient de (- j dans -B^- se présentera sous la forme suivante :

df{a) .(Pf^a)

<^o/( «! ) + «1 a -—^ h «2 a- .^ + . . . -i- aj+2p «''^"^'

. , d<+'-Pf{a)

da'+^-i'

OÙ les a sont des coefficients numériques; on voit qu'on a pu condenser cette expression en adoptant une notation symbolique.